更改

</math>  

</math>  

其中<math> (y_1, y_2, y_3) = (x_1, x_2, x_1^2)</math>。如下图所示，我们可以画出在这个[[三维空间]]中[[系统动力学]]的[[流形]]，也就是[[动力学]]曲线会在哪些平面上运动。首先，由于观测量本身的定义，我们有约束 <math> \ y_3 = y_1^2 </math>，在图中由蓝色曲面表示。在空间中有三条黑色轨迹，代表[[动力系统]]从三个不同起点出发的轨迹，它们始终都会在蓝色曲面上运动。因为<math>λ\ll μ<0</math>，所以<math> y_2 </math>的收敛速度会远快于<math> y_1 </math>，于是有一个吸引[[流形]]<math> y_2=y_1^2 </math>，这在图中表示为红色的曲面（与<math> y_3 </math>平行，在下方平面上的[[投影]]是二次函数曲线）。

其中<math> (y_1, y_2, y_3) = (x_1, x_2, x_1^2)</math>。

 

 

如上图所示，我们可以画出在这个[[三维空间]]中[[系统动力学]]的[[流形]]，也就是[[动力学]]曲线会在哪些平面上运动。首先，由于观测量本身的定义，我们有约束 <math> \ y_3 = y_1^2 </math>，在图中由蓝色曲面表示。在空间中有三条黑色轨迹，代表[[动力系统]]从三个不同起点出发的轨迹，它们始终都会在蓝色曲面上运动。因为<math>λ\ll μ<0</math>，所以<math> y_2 </math>的收敛速度会远快于<math> y_1 </math>，于是有一个吸引[[流形]]<math> y_2=y_1^2 </math>（这是[math]y_2[/math]的[[不动点]]），这在图中表示为红色的曲面（与<math> y_3 </math>平行，在下方平面上的[[投影]]是二次函数曲线）。

红色曲面与蓝色曲面相交的曲线（亮蓝色曲线）便位于<math> y_2=y_3 </math>这个曲面上。这条交线上的每一点都代表<math> x_2 </math>达到了平衡，即它的导数为0。绿色曲面则是接近<math> y_2=y_3 </math>曲面的慢[[流形]]，因为它是由μ和2μ两个绝对值很小的[[特征值]]对应的[[特征向量]]张成的子空间。它与蓝色曲线交于[[稳定不动点]]（0，0）。当轨迹从起点出发，会因为红色吸引[[流形]]的作用快速靠近红色与蓝色曲面的交界处。达到交界处后，由于绿色曲面的吸引作用，再缓慢地靠近最终的[[稳定不动点]]（0，0）。

红色曲面与蓝色曲面相交的曲线（亮蓝色曲线）便位于<math> y_2=y_3 </math>这个曲面上。这条交线上的每一点都代表<math> x_2 </math>达到了平衡，即它的导数为0。绿色曲面则是接近<math> y_2=y_3 </math>曲面的慢[[流形]]，因为它是由μ和2μ两个绝对值很小的[[特征值]]对应的[[特征向量]]张成的子空间。它与蓝色曲线交于[[稳定不动点]]（0，0）。当轨迹从起点出发，会因为红色吸引[[流形]]的作用快速靠近红色与蓝色曲面的交界处。达到交界处后，由于绿色曲面的吸引作用，再缓慢地靠近最终的[[稳定不动点]]（0，0）。

总结一下整个[[动力学]]过程：出发时轨迹就始终位于蓝色曲面上，然后快速靠近红色曲面到达交线，然后再缓慢趋向于绿色曲面（也就是到达[[不动点]]的位置）。下图还展示了[[动力学]]在 <math>y_1-y_2</math> 平面上的[[投影]]。

总结一下整个[[动力学]]过程：出发时轨迹就始终位于蓝色曲面上，然后快速靠近红色曲面到达交线，然后再缓慢趋向于绿色曲面（也就是到达[[不动点]]的位置）。下图还展示了[[动力学]]在 <math>y_1-y_2</math> 平面上的[[投影]]。

以上内容展示了系统在全局[[线性化]]之后的[[动力学]]分析过程。Koopman[[算子]]便是在合适的观测函数下，将任意的[[非线性系统]]做全局[[线性化]]的变换，而且变换后的[[线性系统]]的性质与原系统的[[动力学]]性质是一致的，两个系统是[[拓扑共轭]]的关系<ref name=lan_2013>Lan, Y., & Mezić, I. (2013). Linearization in the large of nonlinear systems and Koopman operator spectrum. Physica D: Nonlinear Phenomena, 242(1), 42–53. https://doi.org/10.1016/j.physd.2012.08.017</ref>。我们可以依据前文提及的[[特征函数]]计算方法来提取和分析Koopman矩阵的[[特征函数]]。通过计算Koopman矩阵的左[[特征向量]]之后，我们找到对应于[[特征值]]μ和λ的Koopman[[特征函数]]为：

以上内容展示了系统在全局[[线性化]]之后的[[动力学]]分析过程。Koopman[[算子]]便是在合适的观测函数下，将任意的[[非线性系统]]做全局[[线性化]]的变换，而且变换后的[[线性系统]]的性质与原系统的[[动力学]]性质是一致的，两个系统是[[拓扑共轭]]的关系<ref name=lan_2013>Lan, Y., & Mezić, I. (2013). Linearization in the large of nonlinear systems and Koopman operator spectrum. Physica D: Nonlinear Phenomena, 242(1), 42–53. https://doi.org/10.1016/j.physd.2012.08.017</ref>。我们可以依据前文提及的[[特征函数]]计算方法来提取和分析Koopman矩阵的[[特征函数]]。通过计算Koopman矩阵的左[[特征向量]]之后，我们找到对应于[[特征值]]μ和λ的Koopman[[特征函数]]为：