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→Koopman模式分解
Koopman模式分解是一种基于Koopman算子理论的动力学分析方式。它允许研究者利用成熟的线性分析工具（如特征分解、谱分析）来解析复杂的非线性现象，能够从数据中直接提取出具有明确物理意义的时空相干结构（动态模式），从而实现对非线性系统的有效预测、降维建模与控制，目前已被广泛应用于流体力学、混沌理论、神经科学及各类复杂网络的研究中。
Koopman模式分解是一种基于Koopman算子理论的动力学分析方式。它允许研究者利用成熟的线性分析工具（如特征分解、谱分析）来解析复杂的非线性现象，能够从数据中直接提取出具有明确物理意义的时空相干结构（动态模式），从而实现对非线性系统的有效预测、降维建模与控制，目前已被广泛应用于流体力学、混沌理论、神经科学及各类复杂网络的研究中。
为了定义Koopman模式分解本身的含义，我们需要先了解Koopman算子的特征函数及其相关性质，因为正是特征函数捕捉了具有物理含义的时空相干结构，它们的演化仅由一个特征值就可以描述（增长、衰减或震荡）。下文我们在介绍完特征函数的定义及性质后，还会介绍如何在具体案例中计算特征函数。
====性质1（离散谱与连续谱）====
====性质1（离散谱与连续谱）====
在一般的[[动力系统]]中，Koopman[[算子]]的本征谱可能既有离散的[[点谱]]的结构，也会有[[连续谱]]的结构。离散谱意味着有限的几个[[特征函数]]不恒为0，它们对应着一些有序的周期或准周期结构，能量比较集中；而[[连续谱]]意味着在极限下[[特征函数]]几乎处处为0，此时往往对应的是[[混沌]]的性质，能量比较弥散不集中。哈密顿系统的本征谱一般是离散谱，而当系统有阻尼（或其他外力）时，其振荡振幅会不断变化，则往往会得到连续谱。
在一般的[[动力系统]]中，Koopman[[算子]]的本征谱可能既有离散的[[点谱]]的结构，也会有[[连续谱]]的结构。离散谱意味着有限的几个[[特征函数]]不恒为0，它们对应着一些有序的周期或准周期结构，能量比较集中；而[[连续谱]]意味着在[[特征函数]]几乎处处为0，此时往往对应的是[[混沌]]的性质，能量比较弥散不集中。哈密顿系统的本征谱一般是离散谱，而当系统有阻尼（或其他外力）时，其振荡振幅会不断变化，则往往会得到连续谱。下面我们给出它们的严格定义
给定算子 <math>\mathcal{T}: \mathcal{G} \rightarrow \mathcal{G}</math>，其中<math>\mathcal{G}</math>为某个函数空间，我们将谱 <math>\sigma(\mathcal{T})</math> 定义为使得算子 <math>\mathcal{T} - \lambda \mathcal{I}</math> 不存在有界逆算子（bounded inverse）的标量 <math>\lambda</math> 的集合。谱可以根据预解算子（resolvent） <math>(\mathcal{T} - \lambda \mathcal{I})^{-1}</math> 不存在为有界算子的具体原因进一步划分为不同的子集。
1. 离散谱（点谱，Point Spectrum）
离散谱，记为 <math>\sigma_p(\mathcal{T})</math>，由那些使得算子 <math>\mathcal{T} - \lambda \mathcal{I}</math> 为非单射（noninjective）的 <math>\lambda</math> 组成。这与有限维矩阵分析中的特征值概念一致，意味着存在非零的特征向量（或特征函数）。
:<math>\mathcal{T}\boldsymbol{\xi} = \lambda \boldsymbol{\xi} \quad \text{或} \quad (\mathcal{T} - \lambda \mathcal{I})\boldsymbol{\xi} = 0</math>
其中 <math>\boldsymbol{\xi} \in \mathcal{G}</math> 便是特征函数。
2. 连续谱（Continuous Spectrum）
连续谱记为 <math>\sigma_c(\mathcal{T})</math>，由满足以下条件的 <math>\lambda</math> 组成：算子 <math>\mathcal{T} - \lambda \mathcal{I}</math> 的值域不是整个上域（即非满射，nonsurjective），但其值域在整个上域中是稠密的。
在Koopman理论的背景下，这相当于表明对于任意的 <math>\varepsilon</math>，都存在一个可观测量 <math>g_\varepsilon</math> 使得近似特征值关系成立。
:<math>\| \mathcal{T} g_\varepsilon - \lambda g_\varepsilon \| < \varepsilon</math>
====性质2（线性动力学中的特征函数）====
====性质2（线性动力学中的特征函数）====