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→残差DMD
==残差DMD==
==残差DMD==
在[[动力系统]]研究中，Koopman[[算子]]理论通过全局[[线性化]]为分析[[非线性系统]]提供框架，但传统方法如EDMD面临[[谱污染]]、[[连续谱]]处理不足和高维挑战等局限。残差动态[[模式分解]]（ResDMD）通过引入残差计算[[机制]]，构建Koopman[[算子]]<math>\mathcal{K}</math>及其伴随[[算子]]与自身的乘积<math>\mathcal{K}^* \mathcal{K}</math>的[[Galerkin近似]]，有效区分真实[[特征值]]与[[伪特征值]]，解决了EDMD因有限维假设和离散化误差导致的谱失真问题。
在[[动力系统]]研究中，Koopman[[算子]]理论通过全局[[线性化]]为分析[[非线性系统]]提供框架，但传统方法如EDMD面临[[谱污染]]、[[连续谱]]处理不足和高维挑战等局限。残差动态[[模式分解]]（ResDMD<ref name=Colbrook_2023>Colbrook, M. J., Ayton, L. J. & Szőke, M. Residual dynamic mode decomposition: Robust and verified koopmanism. J. Fluid Mech. 955, A21 (2023).</ref><ref name=Colbrook_2024>Colbrook, M. J. & Townsend, A. Rigorous data‐driven computation of spectral properties of koopman operators for dynamical systems. Commun. Pure Appl. Math. 77, 221–283 (2024).</ref> 通过引入残差计算[[机制]]，构建Koopman[[算子]]<math>\mathcal{K}</math>及其伴随[[算子]]与自身的乘积<math>\mathcal{K}^* \mathcal{K}</math>的[[Galerkin近似]]，有效区分真实[[特征值]]与[[伪特征值]]，解决了EDMD因有限维假设和离散化误差导致的谱失真问题。
===[[伪特征值]]的出现===
===[[伪特征值]]的出现===
在算子理论和数据驱动动力学系统的背景下，伪特征值（Pseudo-eigenvalues）通常指的是当使用有限维矩阵近似来表示无限维 Koopman 算子 <math>\mathcal{K}</math> 时，所计算出的特征值 <math>\lambda</math> 并不属于真实 Koopman 算子的谱 <math>\sigma(\mathcal{K})</math>。
'''定义（矩阵的伪特征值）：'''在严格的数学框架下，伪特征值通常通过<math>\epsilon</math>-伪谱来定义。它描述了算子在受到扰动时，其特征值可能出现的区域。对于一个有限维矩阵 <math>A</math> 和 <math>\epsilon > 0</math>，<math>A</math> 的 <math>\epsilon</math>-伪谱定义为<ref name=Colbrook_2023 />：
:<math>
\sigma_\epsilon(A) = \{ \lambda \in \mathbb{C} : \|(A - \lambda I)^{-1}\| \geq 1/\epsilon \} = \bigcup_{\|B\| \le \epsilon} \sigma(A + B)
</math>
其中 <math>\sigma(A + B)</math> 表示矩阵 <math>A + B</math> 的特征值集合。这表明 <math>\epsilon</math>-伪谱是复平面上的一个区域，包含了所有可能由大小不超过 <math>\epsilon</math> 的扰动所产生的特征值。
'''定义（算子的伪特征值）：'''对于可能无界的 Koopman 算子 <math>\mathcal{K}</math>，其 <math>\epsilon</math>-伪谱的定义需要更加严谨，具体如下<ref name=Colbrook_2023 />：
:<math>
\sigma_\epsilon(\mathcal{K}) := \text{cl} \left( \left\{ \lambda \in \mathbb{C} : \|(\mathcal{K} - \lambda)^{-1}\| > 1/\epsilon \right\} \right) = \text{cl} \left( \bigcup_{\|\mathcal{B}\| < \epsilon} \sigma(\mathcal{K} + \mathcal{B}) \right)
</math>
其中 <math>\text{cl}</math> 表示集合的闭包，<math>(\mathcal{K} - \lambda)^{-1}</math> 是预解算子。该定义刻画了在该算子下，对于任意给定的精度 <math>\epsilon</math>，能够以小于 <math>\epsilon</math> 的残差近似满足特征值方程的标量 <math>\lambda</math> 的集合。
例如，设有一个平凡的对角线[[线性系统]]，其[[特征值]]<math>\lambda \in \{1, 2, 5\}</math>，[[特征向量]]<math>\xi_j</math>为坐标[[方向]]<math>x_j</math>，以及一个对前两个[[特征向量]]进行混合的简单观测：
:<math> \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} </math> <math> \quad \text{选择观测函数为} \quad y = x_1 + x_2. </math>
:<math> \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} </math> <math> \quad \text{选择观测函数为} \quad y = x_1 + x_2. </math>
该观测函数本身张成的空间并不是 Koopman 算子的不变子空间。在这种情况下，数据驱动算法试图用单一的增长率来拟合混合了不同增长率的数据，从而预测出一个伪特征值 <math>3</math>。这实际上是前两个[[特征值]]<math>\lambda=1</math>和<math>\lambda=2</math>的和，因为测量是前两个[[特征向量]]之和。因此，在实际应用中选取观测函数时，采取一些手段避免[[过拟合]]是非常重要的。除了观测函数选取不当，在数据驱动算法中，如果数据量没有足够多，或者数据[[采样]]相比于原本的[[连续]][[动力学]]过于离散化，也会造成[[伪特征值]]出现的问题。
===理论===
===理论===
给定一组观测函数<math>\{\psi_1, \dots, \psi_{N_K}\} \subset D(\mathcal{K})(D(\mathcal{K})</math>为<math>\mathcal{K}</math>的定义域），如一系列的多项式，EDMD 的目标是在子空间<math>V_{N_K} = \text{span}\{\psi_1, \dots, \psi_{N_K}\}</math>上近似<math>\mathcal{K}</math>的作用，即满足<ref name=Colbrook_2023>Colbrook, M. J., Ayton, L. J. & Szőke, M. Residual dynamic mode decomposition: Robust and verified koopmanism. J. Fluid Mech. 955, A21 (2023).</ref><ref name=Colbrook_2024>Colbrook, M. J. & Townsend, A. Rigorous data‐driven computation of spectral properties of koopman operators for dynamical systems. Commun. Pure Appl. Math. 77, 221–283 (2024).</ref>：
给定一组观测函数<math>\{\psi_1, \dots, \psi_{N_K}\} \subset D(\mathcal{K})(D(\mathcal{K})</math>为<math>\mathcal{K}</math>的定义域），如一系列的多项式，EDMD 的目标是在子空间<math>V_{N_K} = \text{span}\{\psi_1, \dots, \psi_{N_K}\}</math>上近似<math>\mathcal{K}</math>的作用，即满足<ref name=Colbrook_2023 /><ref name=Colbrook_2024>Colbrook, M. J. & Townsend, A. Rigorous data‐driven computation of spectral properties of koopman operators for dynamical systems. Commun. Pure Appl. Math. 77, 221–283 (2024).</ref>：
:<math>[\mathcal{K}\psi_j](\boldsymbol{x}) = \psi_j(F(\boldsymbol{x})) \approx \sum_{i=1}^{N_K} (K_{\text{EDMD}})_{ij} \psi_i(\boldsymbol{x}), \quad 1 \leq j \leq N_K.</math>
:<math>[\mathcal{K}\psi_j](\boldsymbol{x}) = \psi_j(F(\boldsymbol{x})) \approx \sum_{i=1}^{N_K} (K_{\text{EDMD}})_{ij} \psi_i(\boldsymbol{x}), \quad 1 \leq j \leq N_K.</math>