更改

===不动点的定义===

===不动点的定义===

对于一般的映射 <math>g</math>, 满足 <math>g(x^*)=0</math>的点 <math>x^*</math> 成为 <math>g</math> 的[[不动点]]。可以验证对[[不动点]] <math>x^*</math>，有 <math>g(g(x^*)) = g(x^*) = x^*</math>。直观上看，这个点在系统的映射下一直保持不动，因此也称其为系统的平衡解。在一维[[动力学]] <math>\displaystyle \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = f(x)</math> 中，如果系统处在[[不动点]]的位置，那么[[系统状态]]将不再改变，也即 <math>\displaystyle \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = 0 = f(x)</math>，因此我们只需研究 <math>f(x)</math> 的零点即可。

对于一般的映射 <math>g</math>, 满足 <math>g(x^*)=0</math> 的点 <math>x^*</math> 成为 <math>g</math> 的[[不动点]]。

 

可以验证对[[不动点]] <math>x^*</math>，有 <math>g(g(x^*)) = g(x^*) = x^*</math>。直观上看，这个点在系统的映射下一直保持不动，因此也称其为系统的平衡解。在一维[[动力学]] <math>\displaystyle \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = f(x)</math> 中，如果系统处在[[不动点]]的位置，那么[[系统状态]]将不再改变，也即 <math>\displaystyle \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = 0 = f(x)</math>，因此我们只需研究 <math>f(x)</math> 的零点即可。

===图形化稳定性判据===

===图形化稳定性判据===

* 半稳定[[不动点]]： 零点的两侧同号；从一侧吸引，从另一侧排斥。

* 半稳定[[不动点]]： 零点的两侧同号；从一侧吸引，从另一侧排斥。

[[File:fixed_point_1.png|400px|thumb|right|某个一维自治系统的相图。其稳定[[不动点]]和不稳定[[不动点]]分别使用实心圆点和空心圆点表示，箭头方向指示相流的方向。引自__PROTECTED_12__]]

[[File:fixed_point_1.png|400px|缩略图|某个一维自治系统的相图。其稳定[[不动点]]和不稳定[[不动点]]分别使用实心圆点和空心圆点表示，箭头方向指示相流的方向。引自__PROTECTED_12__]]

右图给出了一个一维[[自治系统]]的[[相图]]，横轴的箭头表示相流的流向。如图所示，函数 <math>f(x)</math> 有两个零点，这意味着系统有两个[[不动点]]。左侧的[[不动点]]是稳定的，当 <math>x</math> 位于左侧[[不动点]]的左侧少许时，其速度向右；当 <math>x</math> 位于它的右侧少许时，其速度向左。右侧[[不动点]]和左侧相反：向左侧或右侧扰动都会使[[系统状态]]远离右侧的不[[稳定不动点]]。

右图给出了一个一维[[自治系统]]的[[相图]]，横轴的箭头表示相流的流向。如图所示，函数 <math>f(x)</math> 有两个零点，这意味着系统有两个[[不动点]]。左侧的[[不动点]]是稳定的，当 <math>x</math> 位于左侧[[不动点]]的左侧少许时，其速度向右；当 <math>x</math> 位于它的右侧少许时，其速度向左。右侧[[不动点]]和左侧相反：向左侧或右侧扰动都会使[[系统状态]]远离右侧的不[[稳定不动点]]。

===势函数===

===势函数===

除了使用 <math>f(x)</math> 分析外，还可以使用系统的[[势函数]]<math>V(x)</math>进行分析。它由<math>f(x)=-\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} x}</math>定义。通过该定义，系统行为等价于一个过阻尼粒子在[[势能]]景观<math>V(x)</math>中的运动。粒子总是向[[势能]]减小 (<math>\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}\leq 0</math>) 的方向运动。其中系统的稳定[[不动点]] <math>\leftrightarrow</math> <math>V(x)</math>的局部极小值（[[势能]]谷），而不稳定[[不动点]] <math>\leftrightarrow</math> <math>V(x)</math>的局部极大值（[[势能]]峰）

除了使用 <math>f(x)</math> 分析外，还可以使用系统的[[势函数]]<math>V(x)</math>进行分析。它由<math>f(x)=-\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} x}</math>定义。

 

通过该定义，系统行为等价于一个过阻尼粒子在[[势能]]景观<math>V(x)</math>中的运动。粒子总是向[[势能]]减小 (<math>\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}\leq 0</math>) 的方向运动。其中系统的稳定[[不动点]] <math>\leftrightarrow</math> <math>V(x)</math>的局部极小值（[[势能]]谷），而不稳定[[不动点]] <math>\leftrightarrow</math> <math>V(x)</math>的局部极大值（[[势能]]峰）

==解的性质==

==解的性质==