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== 几何思维与相图表示 ==
== 几何思维与相图表示 ==
[[文件:相图.png|left|缩略图|一维[[动力系统]]的图，展示状态变量沿实数轴的演化方向与[[不动点]]结构<ref>{{cite web
[[文件:相图.png|none|缩略图|一维[[动力系统]]的图，展示状态变量沿实数轴的演化方向与[[不动点]]结构<ref>{{cite web
|title=Phase Graph
|title=Phase Graph
|url=https://pattern.swarma.org/study_group_issue/998
|url=https://pattern.swarma.org/study_group_issue/998
* 半稳定[[不动点]]： 零点的两侧同号；从一侧吸引，从另一侧排斥。
* 半稳定[[不动点]]： 零点的两侧同号；从一侧吸引，从另一侧排斥。
[[File:fixed_point_1.png|400px|left|缩略图|某个一维自治系统的相图。其稳定[[不动点]]和不稳定[[不动点]]分别使用实心圆点和空心圆点表示，箭头方向指示相流的方向。引自__PROTECTED_12__]]
[[File:fixed_point_1.png|400px|none|缩略图|某个一维自治系统的相图。其稳定[[不动点]]和不稳定[[不动点]]分别使用实心圆点和空心圆点表示，箭头方向指示相流的方向。引自__PROTECTED_12__]]
右图给出了一个一维[[自治系统]]的[[相图]]，横轴的箭头表示相流的流向。如图所示，函数 <math>f(x)</math> 有两个零点，这意味着系统有两个[[不动点]]。左侧的[[不动点]]是稳定的，当 <math>x</math> 位于左侧[[不动点]]的左侧少许时，其速度向右；当 <math>x</math> 位于它的右侧少许时，其速度向左。右侧[[不动点]]和左侧相反：向左侧或右侧扰动都会使[[系统状态]]远离右侧的不[[稳定不动点]]。
右图给出了一个一维[[自治系统]]的[[相图]]，横轴的箭头表示相流的流向。如图所示，函数 <math>f(x)</math> 有两个零点，这意味着系统有两个[[不动点]]。左侧的[[不动点]]是稳定的，当 <math>x</math> 位于左侧[[不动点]]的左侧少许时，其速度向右；当 <math>x</math> 位于它的右侧少许时，其速度向左。右侧[[不动点]]和左侧相反：向左侧或右侧扰动都会使[[系统状态]]远离右侧的不[[稳定不动点]]。
在最常见的连续时间形式中，逻辑斯谛方程写为
在最常见的连续时间形式中，逻辑斯谛方程写为
[[文件:Logistics Equation - Graph.png|left|缩略图|250px|逻辑斯谛方程解的典型 S 型增长曲线示意图，展示种群数量随时间增长并逐渐趋近环境承载量的行为<ref>{{cite web
[[文件:Logistics Equation - Graph.png|none|缩略图|250px|逻辑斯谛方程解的典型 S 型增长曲线示意图，展示种群数量随时间增长并逐渐趋近环境承载量的行为<ref>{{cite web
|title=Logistic Function
|title=Logistic Function
|url=https://byjus.com/maths/logistic-function/
|url=https://byjus.com/maths/logistic-function/
|access-date=2025-12-19
|access-date=2025-12-19
}}</ref>。]]
}}</ref>。]]
[[File:7c938bef2d22821917dce432d6417aff.png|left|缩略图|250px|逻辑斯谛方程的相图，原点是系统的不稳定不动点。系统有一个稳定不动点 $N=K$，即为环境承载量。]]
[[File:7c938bef2d22821917dce432d6417aff.png|none|缩略图|250px|逻辑斯谛方程的相图，原点是系统的不稳定不动点。系统有一个稳定不动点 $N=K$，即为环境承载量。]]
<math display="block">
<math display="block">
===模型定义===
===模型定义===
[[文件:RC_Series_Filter_(with_V&I_Labels).png|300x500像素|left|缩略图|串联RC电路，左侧为输入电压，电阻值为 R，电容值量为 C，输出电压为电容两端的电压。引自<ref name='wikipedia rc circuit'>https://en.wikipedia.org/wiki/RC_circuit</ref>]]
[[文件:RC_Series_Filter_(with_V&I_Labels).png|300x500像素|none|缩略图|串联RC电路，左侧为输入电压，电阻值为 R，电容值量为 C，输出电压为电容两端的电压。引自<ref name='wikipedia rc circuit'>https://en.wikipedia.org/wiki/RC_circuit</ref>]]
考虑右图所示的 RC 电路，电阻大小为 <math>R</math>，电容量为 <math>C</math>。记左端输入电压为 <math>V_{\text{in}}</math>，电容器两端的电压 <math>V_{C}</math> 为输出电压，电路中的电流为 <math>I</math>。根据[[基尔霍夫定律]]，可得下面的方程
考虑右图所示的 RC 电路，电阻大小为 <math>R</math>，电容量为 <math>C</math>。记左端输入电压为 <math>V_{\text{in}}</math>，电容器两端的电压 <math>V_{C}</math> 为输出电压，电路中的电流为 <math>I</math>。根据[[基尔霍夫定律]]，可得下面的方程
其中 <math>\tau = RC</math> 称为[[时间常数]]，它决定电容器充电的快慢。
其中 <math>\tau = RC</math> 称为[[时间常数]]，它决定电容器充电的快慢。
[[File:微信图片_20251231123651_61031_78.png|250px|thumb|left|RC 电路系统的相图。横轴为电容器的电量<math>Q</math>，纵轴为电容器电量的变化率<math>\dot{Q}</math>。该系统的相图为一斜率为负的直线，和横轴的交点为 <math>Q=V_0 C</math>，即为系统的稳定不动点。]]
[[File:微信图片_20251231123651_61031_78.png|250px|thumb|none|RC 电路系统的相图。横轴为电容器的电量<math>Q</math>，纵轴为电容器电量的变化率<math>\dot{Q}</math>。该系统的相图为一斜率为负的直线，和横轴的交点为 <math>Q=V_0 C</math>，即为系统的稳定不动点。]]
===相图视角===
===相图视角===
上式{{EquationNote|(4)}}被称为企业通用生产曲线（general growth curve），其中，<math>t</math>是企业的市场年龄。下图展示了个体企业时间轨迹在平均尺度上和模型预测的吻合情况，结果显示，在[[美国]]、中国和欧洲的上市企业数据集中，模型表现和数据吻合，详见下图。
上式{{EquationNote|(4)}}被称为企业通用生产曲线（general growth curve），其中，<math>t</math>是企业的市场年龄。下图展示了个体企业时间轨迹在平均尺度上和模型预测的吻合情况，结果显示，在[[美国]]、中国和欧洲的上市企业数据集中，模型表现和数据吻合，详见下图。
[[文件:企业生长曲线.png|600px|left|缩略图|企业生长曲线在中国、美国、欧洲的上市企业数据集上的拟合结果，可见与企业增长模型的解与实际数据集吻合。]]
[[文件:企业生长曲线.png|600px|none|缩略图|企业生长曲线在中国、美国、欧洲的上市企业数据集上的拟合结果，可见与企业增长模型的解与实际数据集吻合。]]
当<math>\beta_L \approx 1</math>的时候，可以得到一个极佳的近似，此时企业生长方程的解是一个随时间变化的[[幂律]]形式：
当<math>\beta_L \approx 1</math>的时候，可以得到一个极佳的近似，此时企业生长方程的解是一个随时间变化的[[幂律]]形式：
====稳定性====
====稳定性====
[[文件:Singularity.png|400px|left|缩略图|企业生长轨迹及其变化率和不同参数的关系]]
[[文件:Singularity.png|400px|none|缩略图|企业生长轨迹及其变化率和不同参数的关系]]
对奇异点进行稳定性分析，即判断 <math>\left.\frac{\mathrm{d} ^2t}{\mathrm{d} A^2}\right|_{A=A^*}=\frac{(A^*)^{-\beta_I-1}}{c_I}(1-\beta_L)</math>的正负。我们得到两种情况：
对奇异点进行稳定性分析，即判断 <math>\left.\frac{\mathrm{d} ^2t}{\mathrm{d} A^2}\right|_{A=A^*}=\frac{(A^*)^{-\beta_I-1}}{c_I}(1-\beta_L)</math>的正负。我们得到两种情况：