更改

:<math>ker(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \langle \phi(\mathbf{x}), \phi(\mathbf{y}) \rangle</math>，

:<math>ker(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \langle \phi(\mathbf{x}), \phi(\mathbf{y}) \rangle</math>，

其中<math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math>表示RKHS中的[[内积]]。这种方法允许我们在不知道显式映射<math>\phi</math>的情况下，直接在核空间中计算相似性。即此时Koopman[[算子]]的近似矩阵<math>\mathbf{K}_\phi</math>为<ref name=william_2015_kernal>M. O. Williams, C. W. Rowley, and I. G. Kevrekidis, A kernel approach to data-driven Koopman spectral analysis, J. Comput. Dynam., 2 (2015), pp. 247--265. (Cited on pp. 255, 256, 284, 285, 294, 318)</ref><ref name=Gonzalez_2023_kernal>Gonzalez, E., Abudia, M., Jury, M., Kamalapurkar, R. & Rosenfeld, J. A. The kernel perspective on dynamic mode decomposition. Preprint at https://doi.org/10.48550/arXiv.2106.00106 (2023).</ref>：

其中<math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math>表示RKHS中的[[内积]]。这种方法允许我们在不知道显式映射<math>\phi</math>的情况下，直接在核空间中计算相似性。

:<math>\mathbf{Ker}_{YX} \approx \mathbf{K}_\phi \mathbf{Ker}_{XX}</math>

 

 

 

 

第二步，核DMD假设Koopman算子在RKHS中的作用，满足类似标准DMD的线性近似关系，即<ref name=william_2015_kernal>M. O. Williams, C. W. Rowley, and I. G. Kevrekidis, A kernel approach to data-driven Koopman spectral analysis, J. Comput. Dynam., 2 (2015), pp. 247--265. (Cited on pp. 255, 256, 284, 285, 294, 318)</ref><ref name=Gonzalez_2023_kernal>Gonzalez, E., Abudia, M., Jury, M., Kamalapurkar, R. & Rosenfeld, J. A. The kernel perspective on dynamic mode decomposition. Preprint at https://doi.org/10.48550/arXiv.2106.00106 (2023).</ref>：

 

<math>\mathbf{Ker}_{YX} \approx \mathbf{K}_\phi \mathbf{Ker}_{XX}</math>

其中，<math>(\mathbf{Ker}_{XX})_{ij} = ker(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j), \quad (\mathbf{Ker}_{YX})_{ij} = ker(\mathbf{y}_i, \mathbf{x}_j)</math>

其中，<math>(\mathbf{Ker}_{XX})_{ij} = ker(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j), \quad (\mathbf{Ker}_{YX})_{ij} = ker(\mathbf{y}_i, \mathbf{x}_j)</math>

这相当于在RKHS中执行标准DMD算法，从而获得近似Koopman[[算子]]。核DMD的优势在于，它能够处理复杂的[[非线性系统]]，如[[流体湍流]]或[[混沌系统]]，而无需手动设计[[非线性]][[特征函数]]。此外，[[核技巧]]减少了[[计算复杂度]]，因为我们可以通过核矩阵运算避免高维空间中的直接计算。目前，有很多种[[核函数]]，包括线性核、多项式核、[[径向基]]核、高斯核、拉普拉斯核、sigmod核等等。

 

 

 

核DMD的优势在于，它能够处理复杂的[[非线性系统]]，如[[流体湍流]]或[[混沌系统]]，而无需手动设计[[非线性]][[特征函数]]。此外，[[核技巧]]减少了[[计算复杂度]]，因为我们可以通过核矩阵运算避免高维空间中的直接计算。目前，有很多种[[核函数]]，包括线性核、多项式核、[[径向基]]核、高斯核、拉普拉斯核、sigmod核等等。

===[[核函数]]===

===[[核函数]]===

* '''线性核（Linear Kernel）'''：可视为核DMD的退化形式。其公式为： <math>k(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \mathbf{x} \cdot \mathbf{y}</math>  ，其中，<math>\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}</math> 是标准[[内积]]，直接反映线性[[相关性]]。 线性核计算高效且无超参数，适合线性或近似线性的系统；但无法处理强[[非线性]]。在核DMD中，它适用于小扰动下的[[线性化]]系统，可作为复杂核的基准比较。

* '''线性核（Linear Kernel）'''：可视为核DMD的退化形式。其公式为： <math>ker(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \mathbf{x} \cdot \mathbf{y}</math>  ，其中，<math>\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}</math> 是标准[[内积]]，直接反映线性[[相关性]]。 线性核计算高效且无超参数，适合线性或近似线性的系统；但无法处理强[[非线性]]。在核DMD中，它适用于小扰动下的[[线性化]]系统，可作为复杂核的基准比较。

* '''多项式核（Polynomial Kernel）'''适用于处理多项式[[非线性]]。其公式为：  <math>k(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = (\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} + c)^d</math>  ，其中， <math>\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}</math> 是[[向量]] <math>\mathbf{x}</math> 和 <math>\mathbf{y}</math> 的[[内积]]，表示它们的线性相似性。 <math>c</math> 是常数项（通常 <math>c \geq 0</math>），用于调整偏置，影响核的平移。<math>d</math> 是多项式的次数，控制[[非线性]]程度；较高的 <math>d</math> 能捕捉更复杂的交互作用。  多项式核计算简单且能明确控制模型复杂度；但当 <math>d</math> 较大时易[[过拟合]]，且对非多项式关系捕捉能力有限。在核DMD中，它适用于具有多项式[[动力学]]的系统，如[[机械振动]]或[[电路系统]]，其中变量间存在高阶依赖。

* '''多项式核（Polynomial Kernel）'''适用于处理多项式[[非线性]]。其公式为：  <math>ker(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = (\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} + c)^d</math>  ，其中， <math>\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}</math> 是[[向量]] <math>\mathbf{x}</math> 和 <math>\mathbf{y}</math> 的[[内积]]，表示它们的线性相似性。 <math>c</math> 是常数项（通常 <math>c \geq 0</math>），用于调整偏置，影响核的平移。<math>d</math> 是多项式的次数，控制[[非线性]]程度；较高的 <math>d</math> 能捕捉更复杂的交互作用。  多项式核计算简单且能明确控制模型复杂度；但当 <math>d</math> 较大时易[[过拟合]]，且对非多项式关系捕捉能力有限。在核DMD中，它适用于具有多项式[[动力学]]的系统，如[[机械振动]]或[[电路系统]]，其中变量间存在高阶依赖。

* '''[[径向基函数]]核（Radial Basis Function Kernel）'''的公式为：<math>k(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = f(|\mathbf{x} - \mathbf{y}|)</math>  ，其中，<math>f(\cdot)</math>为关于距离的单调递减函数。高斯核和拉普拉斯核均属此类特例。[[径向基函数]]核的共性是利用数据点间的距离度量相似性，适用于局部平滑的[[动力系统]]。其优势在于能自动适应数据分布，无需预先假设特定函数形式。在[[动力系统分析]]中，[[径向基函数]]核能有效捕捉[[相空间]]中的局部[[动力学]]特征，如[[吸引子]]结构或[[稳定流形]]。缺点是当系统维度较高时，可能面临"[[维度灾难]]"，且计算成本随数据量增加而显著增长。

* '''[[径向基函数]]核（Radial Basis Function Kernel）'''的公式为：<math>ker(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = f(|\mathbf{x} - \mathbf{y}|)</math>  ，其中，<math>f(\cdot)</math>为关于距离的单调递减函数。高斯核和拉普拉斯核均属此类特例。[[径向基函数]]核的共性是利用数据点间的距离度量相似性，适用于局部平滑的[[动力系统]]。其优势在于能自动适应数据分布，无需预先假设特定函数形式。在[[动力系统分析]]中，[[径向基函数]]核能有效捕捉[[相空间]]中的局部[[动力学]]特征，如[[吸引子]]结构或[[稳定流形]]。缺点是当系统维度较高时，可能面临"[[维度灾难]]"，且计算成本随数据量增加而显著增长。

* '''高斯核（Gaussian Kernel）'''： <math>k(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \exp\left(-\frac{|\mathbf{x} - \mathbf{y}|}{\alpha}\right)</math>  ，其中， <math>|\mathbf{x} - \mathbf{y}|</math> 表示数据点 <math>\mathbf{x}</math> 和 <math>\mathbf{y}</math> 之间的[[欧氏距离]]，用于[[量化]]它们的空间分离程度。<math>\alpha</math> 是带宽参数（缩放因子），控制[[核函数]]的衰减速率；较小的 <math>\alpha</math> 使核更局部化，较大的 <math>\alpha</math> 使核更平滑。<math>\exp</math> 是指数函数，确保相似性随距离增加而指数衰减。该[[核函数]]能捕捉数据的局部结构，并对[[噪声]]有一定的[[鲁棒性]]；但对参数 <math>\alpha</math> 的选择敏感，若选择不当可能导致[[过拟合]]或[[欠拟合]]。在核DMD中，高斯核适用于[[非线性动力系统]]分析，如[[流体湍流]]或[[混沌系统]]，能有效识别相干结构。

* '''高斯核（Gaussian Kernel）'''： <math>ker(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \exp\left(-\frac{|\mathbf{x} - \mathbf{y}|}{\alpha}\right)</math>  ，其中， <math>|\mathbf{x} - \mathbf{y}|</math> 表示数据点 <math>\mathbf{x}</math> 和 <math>\mathbf{y}</math> 之间的[[欧氏距离]]，用于[[量化]]它们的空间分离程度。<math>\alpha</math> 是带宽参数（缩放因子），控制[[核函数]]的衰减速率；较小的 <math>\alpha</math> 使核更局部化，较大的 <math>\alpha</math> 使核更平滑。<math>\exp</math> 是指数函数，确保相似性随距离增加而指数衰减。该[[核函数]]能捕捉数据的局部结构，并对[[噪声]]有一定的[[鲁棒性]]；但对参数 <math>\alpha</math> 的选择敏感，若选择不当可能导致[[过拟合]]或[[欠拟合]]。在核DMD中，高斯核适用于[[非线性动力系统]]分析，如[[流体湍流]]或[[混沌系统]]，能有效识别相干结构。

* '''拉普拉斯核（Laplacian Kernel）'''是[[径向基函数]]核的一种变体，其对[[噪声]]和异常值具有更好的[[鲁棒性]]。其[[数学]][[表达式]]为： <math>k(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \exp\left(-\frac{|\mathbf{x} - \mathbf{y}|_1}{\sigma}\right)</math> ，其中，<math>|\mathbf{x} - \mathbf{y}|_1</math>表示[[向量]]间的[[曼哈顿距离（L1范数）]]，<math>\sigma</math>为尺度参数控制衰减速率。与高斯核使用[[L2范数]]不同，拉普拉斯核使用[[L1范数]]，使其对异常值更不敏感，因为[[L1范数]]对大幅偏差的惩罚小于[[L2范数]]。该[[核函数]]的优点在于能有效处理包含[[噪声]]的高维数据，特别适用于传感器网络或实验测量数据中存在显著[[噪声]]的[[动力系统分析]]。缺点是计算效率相对较低，且需要仔细调整尺度参数<math>\sigma</math>以避免过平滑。

* '''拉普拉斯核（Laplacian Kernel）'''是[[径向基函数]]核的一种变体，其对[[噪声]]和异常值具有更好的[[鲁棒性]]。其[[数学]][[表达式]]为： <math>ker(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \exp\left(-\frac{|\mathbf{x} - \mathbf{y}|_1}{\sigma}\right)</math> ，其中，<math>|\mathbf{x} - \mathbf{y}|_1</math>表示[[向量]]间的[[曼哈顿距离（L1范数）]]，<math>\sigma</math>为尺度参数控制衰减速率。与高斯核使用[[L2范数]]不同，拉普拉斯核使用[[L1范数]]，使其对异常值更不敏感，因为[[L1范数]]对大幅偏差的惩罚小于[[L2范数]]。该[[核函数]]的优点在于能有效处理包含[[噪声]]的高维数据，特别适用于传感器网络或实验测量数据中存在显著[[噪声]]的[[动力系统分析]]。缺点是计算效率相对较低，且需要仔细调整尺度参数<math>\sigma</math>以避免过平滑。

* '''Sigmoid核（Sigmoid Kernel）'''源自[[神经网络]]理论，其形式为：  <math>k(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \tanh(\alpha \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} + c)</math>    ，其中，<math>\alpha</math>为缩放参数，<math>c</math>为偏置项，<math>\tanh</math>为[[双曲正切函数]]。该[[核函数]][[模拟]][[神经元]]激活函数的行为，能产生[[非线性]]映射。Sigmoid核的独特之处在于它能[[模拟]]饱和[[非线性]]特性，适用于具有阈值行为的[[动力系统]]，如[[生物神经元模型]]或[[开关控制系统]]。然而，Sigmoid核并非始终满足[[Mercer条件]]（即不一定为正定核），这可能导致数值不稳定性和收敛问题。在实际应用中，需谨慎验证其正定性，或采用修正版本以确保计算稳定性。

* '''Sigmoid核（Sigmoid Kernel）'''源自[[神经网络]]理论，其形式为：  <math>ker(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \tanh(\alpha \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} + c)</math>    ，其中，<math>\alpha</math>为缩放参数，<math>c</math>为偏置项，<math>\tanh</math>为[[双曲正切函数]]。该[[核函数]][[模拟]][[神经元]]激活函数的行为，能产生[[非线性]]映射。Sigmoid核的独特之处在于它能[[模拟]]饱和[[非线性]]特性，适用于具有阈值行为的[[动力系统]]，如[[生物神经元模型]]或[[开关控制系统]]。然而，Sigmoid核并非始终满足[[Mercer条件]]（即不一定为正定核），这可能导致数值不稳定性和收敛问题。在实际应用中，需谨慎验证其正定性，或采用修正版本以确保计算稳定性。

核DMD的适用场景广泛，包括[[动力系统分析]]、[[预测建模]]和[[控制设计]]。例如，在[[流体动力学]]中，核DMD可以识别[[湍流]]中的相干结构，而在[[神经网络]]应用中，它能近似[[非线性动力学]]的演化。然而，[[核函数]]的选择（如高斯核、多项式核或线性核）对性能有显著影响，需要根据具体系统进行调整。总之，核DMD提供了一种高效且灵活的方式来扩展线性DMD，使其适用于现实世界中的[[非线性]]问题，同时保持了[[Koopman理论]]的理论严谨性。

核DMD的适用场景广泛，包括[[动力系统分析]]、[[预测建模]]和[[控制设计]]。例如，在[[流体动力学]]中，核DMD可以识别[[湍流]]中的相干结构，而在[[神经网络]]应用中，它能近似[[非线性动力学]]的演化。然而，[[核函数]]的选择（如高斯核、多项式核或线性核）对性能有显著影响，需要根据具体系统进行调整。总之，核DMD提供了一种高效且灵活的方式来扩展线性DMD，使其适用于现实世界中的[[非线性]]问题，同时保持了[[Koopman理论]]的理论严谨性。