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第461行： − 残差项衡量的是“用子空间<math>V_{N_K}</math>近似Koopman算子作用”的误差大小。通常情况下，<math>V_{N_K}</math>并非<math> \mathcal{K} </math>的不变子空间，因此不存在能使<math>\displaystyle{ r(g, \boldsymbol{x}) }</math>对所有<math>\displaystyle{ g \in V_{N_K} }</math>和<math>\boldsymbol{x} \in \Omega</math>均为零的<math>\displaystyle{ K_{\text{EDMD}} }</math>。+ − 因此，EDMD的核心任务就变成了：找到一个最优的矩阵<math>K_{\text{EDMD}}</math>，让这个残差项的整体误差最小。为了量化“整体误差”，我们用“积分范数”来衡量，对应的优化问题就是：+
→理论
给定一组观测函数字典<math>\{\psi_1, \dots, \psi_{N_K}\} \subset \mathcal{G}(\mathcal{X}) </math>(如前文，<math>\mathcal{G}(\mathcal{X}) </math>为<math>\mathcal{K}</math>的定义域），比如<math>x^2, \cos(x), e^x...</math>，可以看作是构建Koopman不变子空间的一组基函数。子空间可以写作<math>V_{N_K} = \text{span}\{\psi_1, \dots, \psi_{N_K}\}</math>。我们的目标是在该子空间上近似Koopman算子<math>\mathcal{K}</math>的作用。
给定一组观测函数字典<math>\{\psi_1, \dots, \psi_{N_K}\} \subset \mathcal{G}(\mathcal{X}) </math>(如前文，<math>\mathcal{G}(\mathcal{X}) </math>为<math>\mathcal{K}</math>的定义域），比如<math>x^2, \cos(x), e^x...</math>，可以看作是构建Koopman不变子空间的一组基函数。子空间可以写作<math>V_{N_K} = \text{span}\{\psi_1, \dots, \psi_{N_K}\}</math>。我们的目标是在该子空间上近似Koopman算子<math>\mathcal{K}</math>的作用。
当我们讨论的是多维向量时，字典函数的映射可以写作<math>\Psi(\boldsymbol{x}) = [\psi_1(\boldsymbol{x}), \dots, \psi_{N_K}(\boldsymbol{x})] \in \mathbb{C}^{1 \times N_K}</math>，则子空间<math>V_{N_K}</math>中的任意观测函数g可表示为字典函数的线性组合，即<math>g(\boldsymbol{x}) = \sum_{j=1}^{N_K} \psi_j(\boldsymbol{x}) g_j = \Psi(\boldsymbol{x}) \boldsymbol{g}</math>，其中<math>\boldsymbol{g} \in \mathbb{C}^{N_K}</math>为系数[[向量]]。满足<ref name=Colbrook_2023 /><ref name=Colbrook_2024>Colbrook, M. J. & Townsend, A. Rigorous data‐driven computation of spectral properties of koopman operators for dynamical systems. Commun. Pure Appl. Math. 77, 221–283 (2024).</ref>：
当我们讨论的是多维向量时，字典函数的映射可以写作<math>\Psi(\boldsymbol{x}) = [\psi_1(\boldsymbol{x}), \dots, \psi_{N_K}(\boldsymbol{x})] \in \mathbb{C}^{1 \times N_K}</math>，则子空间<math>V_{N_K}</math>中的任意观测函数g可表示为字典函数的线性组合，即<math>g(\boldsymbol{x}) = \sum_{j=1}^{N_K} \psi_j(\boldsymbol{x}) g_j = \Psi(\boldsymbol{x}) \boldsymbol{g}</math>，其中<math>\boldsymbol{g} \in \mathbb{C}^{N_K}</math>为系数[[向量]]。从字典函数与观测函数两个概念的关系中不难看出，字典函数本身也是特殊的一组观测函数，所以它也满足<ref name=Colbrook_2023 /><ref name=Colbrook_2024>Colbrook, M. J. & Townsend, A. Rigorous data‐driven computation of spectral properties of koopman operators for dynamical systems. Commun. Pure Appl. Math. 77, 221–283 (2024).</ref>：
:<math>[\mathcal{K}\psi_j](\boldsymbol{x}) = \psi_j(F(\boldsymbol{x})) \approx \sum_{i=1}^{N_K} (K_{\text{EDMD}})_{ij} \psi_i(\boldsymbol{x}), \quad 1 \leq j \leq N_K.</math>
:<math>[\mathcal{K}\psi_j](\boldsymbol{x}) = \psi_j(F(\boldsymbol{x})) \approx \sum_{i=1}^{N_K} (K_{\text{EDMD}})_{ij} \psi_i(\boldsymbol{x}), \quad 1 \leq j \leq N_K.</math>
:<math>[\mathcal{K}g](\boldsymbol{x}) = \Psi(F(\boldsymbol{x})) \boldsymbol{g} = \Psi(\boldsymbol{x}) (K_{\text{EDMD}} \boldsymbol{g}) + \underbrace{\sum_{j=1}^{N_K} \psi_j(F(\boldsymbol{x})) g_j - \Psi(\boldsymbol{x}) (K_{\text{EDMD}} \boldsymbol{g})}_{r(g, \boldsymbol{x})}.</math>
:<math>[\mathcal{K}g](\boldsymbol{x}) = \Psi(F(\boldsymbol{x})) \boldsymbol{g} = \Psi(\boldsymbol{x}) (K_{\text{EDMD}} \boldsymbol{g}) + \underbrace{\sum_{j=1}^{N_K} \psi_j(F(\boldsymbol{x})) g_j - \Psi(\boldsymbol{x}) (K_{\text{EDMD}} \boldsymbol{g})}_{r(g, \boldsymbol{x})}.</math>
残差项衡量的是“在子空间<math>V_{N_K}</math>上近似Koopman算子”的误差大小。通常情况下，<math>V_{N_K}</math>并非<math> \mathcal{K} </math>的不变子空间，因此不存在能使<math>\displaystyle{ r(g, \boldsymbol{x}) }</math>对所有<math>\displaystyle{ g \in V_{N_K} }</math>和<math>\boldsymbol{x} \in \Omega</math>均为零的<math>\displaystyle{ K_{\text{EDMD}} }</math>。
因此，我们的核心任务就变成了：找到一个最优的矩阵<math>K_{\text{EDMD}}</math>，让这个残差项的整体误差最小。为了量化“整体误差”，我们用“积分范数”来衡量，对应的优化问题就是：
:<math>\displaystyle{ \arg\min_{B \in \mathbb{C}^{N_K \times N_K}} \left\{ \int_{\Omega} \max_{\substack{g \in \mathbb{C}^{N_K}, \\ \|\boldsymbol{g}\|=1}} |r(g, \boldsymbol{x})|^2 d\omega(\boldsymbol{x}) = \int_{\Omega} \|\Psi(F(\boldsymbol{x})) - \Psi(\boldsymbol{x}) B\|_{\ell^2}^2 d\omega(\boldsymbol{x}) \right\} }</math>
:<math>\displaystyle{ \arg\min_{B \in \mathbb{C}^{N_K \times N_K}} \left\{ \int_{\Omega} \max_{\substack{g \in \mathbb{C}^{N_K}, \\ \|\boldsymbol{g}\|=1}} |r(g, \boldsymbol{x})|^2 d\omega(\boldsymbol{x}) = \int_{\Omega} \|\Psi(F(\boldsymbol{x})) - \Psi(\boldsymbol{x}) B\|_{\ell^2}^2 d\omega(\boldsymbol{x}) \right\} }</math>