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:<math>[\mathcal{K}\psi_j](\boldsymbol{x}) = \psi_j(F(\boldsymbol{x})) \approx \sum_{i=1}^{N_K} K_{ij} \psi_i(\boldsymbol{x}), \quad 1 \leq j \leq N_K.</math>

:<math>[\mathcal{K}\psi_j](\boldsymbol{x}) = \psi_j(F(\boldsymbol{x})) \approx \sum_{i=1}^{N_K} K_{ij} \psi_i(\boldsymbol{x}), \quad 1 \leq j \leq N_K.</math>

基于这个近似，我们可以把Koopman算子<math>\mathcal{K}</math>对任意观测函数 g 的作用拆分成两部分：一部分精确对应着Koopman算子原始的定义，另一部分是近似带来的误差项（残差）<math>r(g, \boldsymbol{x})</math>，即为：

'''定义（残差项）：'''基于这个近似，我们可以把Koopman算子<math>\mathcal{K}</math>对任意观测函数 g 的作用拆分成两部分：一部分精确对应着Koopman算子原始的定义，另一部分是近似带来的误差项（残差）<math>r(g, \boldsymbol{x})</math>，即为：

:<math>[\mathcal{K}g](\boldsymbol{x}) = \Psi(F(\boldsymbol{x})) \boldsymbol{g} = \Psi(\boldsymbol{x}) (K \boldsymbol{g}) + \underbrace{\sum_{j=1}^{N_K} \psi_j(F(\boldsymbol{x})) g_j - \Psi(\boldsymbol{x}) (K \boldsymbol{g})}_{r(g, \boldsymbol{x})}.</math>

:<math>[\mathcal{K}g](\boldsymbol{x}) = \Psi(F(\boldsymbol{x})) \boldsymbol{g} = \Psi(\boldsymbol{x}) (K \boldsymbol{g}) + \underbrace{\sum_{j=1}^{N_K} \psi_j(F(\boldsymbol{x})) g_j - \Psi(\boldsymbol{x}) (K \boldsymbol{g})}_{r(g, \boldsymbol{x})}.</math>

残差项衡量的是'''在子空间<math>V_{N_K}</math>上近似Koopman算子'''的误差大小。如果残差项为0，说明我们完美地用一个线性系统重构出了原本的非线性系统。通常情况下，<math>V_{N_K}</math>不是<math> \mathcal{K} </math>的不变子空间，因此不存在能使<math>\displaystyle{ r(g, \boldsymbol{x}) }</math>对所有<math>\displaystyle{ g \in V_{N_K} }</math>和<math>\boldsymbol{x} \in \mathcal{X}</math>均为零的<math>\displaystyle{ K }</math>。

残差项衡量的是在子空间<math>V_{N_K}</math>上近似Koopman算子的误差大小。如果残差项为0，说明我们完美地用一个线性系统重构出了原本的非线性系统。通常情况下，<math>V_{N_K}</math>不是<math> \mathcal{K} </math>的不变子空间，因此不存在能使<math>\displaystyle{ r(g, \boldsymbol{x}) }</math>对所有<math>\displaystyle{ g \in V_{N_K} }</math>和<math>\boldsymbol{x} \in \mathcal{X}</math>均为零的<math>\displaystyle{ K }</math>。

'''优化目标：'''因此，我们的核心任务就变成了找到一个最优的矩阵<math>K</math>，让这个残差项的整体误差最小。为了在系统整个定义域上量化整体误差，我们要让残差项在定义域上求积分。对应的优化问题就是：

'''优化目标：'''因此，我们的核心任务就变成了找到一个最优的矩阵<math>K</math>，让这个残差项的整体误差最小。为了在系统整个定义域上量化整体误差，我们要让残差项在定义域上求积分。对应的优化问题就是：