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===[[伪特征值]]的出现===

===[[伪特征值]]的出现===

在算子理论和数据驱动[[动力学系统]]的背景下，[[伪特征值]]（Pseudo-eigenvalues）通常指的是当使用有限维矩阵近似来表示无限维 Koopman 算子 <math>\mathcal{K}</math> 时，所计算出的[[特征值]] <math>\lambda</math> 并不属于真实 Koopman 算子的谱 <math>\sigma(\mathcal{K})</math>。

为什么会出现谱污染问题呢？原本特征值谱告诉我们的是，动力系统里有哪些增长、衰减或振荡的模式，但有时候会出现虚假的特征值。这些特征值对应着动力系统里并不真实存在的模式，是虚假的规律。为此，我们有了[[伪特征值]]（Pseudo-eigenvalues）这样的概念。[[伪特征值]]指的是当使用有限维矩阵近似来表示无限维 Koopman 算子 <math>\mathcal{K}</math> 时，所计算出的[[特征值]] <math>\lambda</math> 有可能并不属于真实 Koopman 算子的谱 <math>\sigma(\mathcal{K})</math>。

'''定义（矩阵的[[伪特征值]]）：'''在严格的数学框架下，[[伪特征值]]通常通过[[<math>\epsilon</math>-伪谱]]来定义。它描述了算子在受到扰动时，其[[特征值]]可能出现的区域。对于一个有限维矩阵 <math>A</math> 和 <math>\epsilon > 0</math>，<math>A</math> 的[[ <math>\epsilon</math>-伪谱]]定义为<ref name=Colbrook_2023 />：   

'''定义（矩阵的[[伪特征值]]）：'''在严格的数学框架下，[[伪特征值]]通常通过[[<math>\epsilon</math>-伪谱]]来定义。它描述了矩阵在受到扰动时，其[[特征值]]可能出现的区域。该区域包含了真实的特征值和虚假的特征值。对于一个有限维矩阵 <math>A</math> 和 <math>\epsilon > 0</math>，<math>A</math> 的[[ <math>\epsilon</math>-伪谱]]定义为<ref name=Colbrook_2023 />：   

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其中 <math>\text{cl}</math> 表示[[集合]]的闭包。该定义刻画了对于任意给定的精度 <math>\epsilon</math>，能够以小于 <math>\epsilon</math> 的残差近似满足[[特征值]]方程的标量 <math>\lambda</math> 的[[集合]]。

其中 <math>\text{cl}</math> 表示[[集合]]的闭包。该定义刻画了对于任意给定的精度 <math>\epsilon</math>，能够以小于 <math>\epsilon</math> 的残差近似满足[[特征值]]方程的标量 <math>\lambda</math> 的[[集合]]。<math>\epsilon</math>反应的就是观测空间偏离不变子空间的程度。如果<math>\epsilon=0</math>，那么伪谱中所有的特征值一定都是真实的特征值。关于<math>\epsilon</math>的具体计算，下文关于残差DMD的原理的内容中有更进一步的介绍。

例如，设有一个平凡的对角线[[线性系统]]，其[[特征值]]<math>\lambda \in \{1, 2, 5\}</math>，[[特征向量]]<math>\xi_j</math>为坐标方向<math>x_j</math>，以及一个对前两个[[特征向量]]进行混合的简单观测：

例如，设有一个平凡的对角线[[线性系统]]，其[[特征值]]<math>\lambda \in \{1, 2, 5\}</math>，[[特征向量]]<math>\xi_j</math>为坐标方向<math>x_j</math>，以及一个对前两个[[特征向量]]进行混合的简单观测：