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第1,116行：
第1,116行： − Bettencourt等人在2007年的研究<ref name=":3" />得出了城市的生长方程，表明规模法则在城市中同样适用，只是生物体随着体重增大会导致新陈代谢以较慢的速度生长，而城市的超线性规模法则会使城市的新陈代谢率随其规模增大而以更快的速度生长。+ + + 第1,130行：
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第1,163行： − 城市生长方程与生物和公司模型的核心区别在于其内在机制和增长模式：+ − + − + − + − +
→城市生长方程
== 城市生长方程 ==
== 城市生长方程 ==
与生物体的统一生长方程和生长曲线的推导类似，我们也可以从城市的基本规模法则，即（{{EquationNote|3}}）式和城市的投入产出预算平衡推导出城市的生长方程。
2007年，Bettencourt等人在<ref name=":3" />一文中得出该生长方程。城市的GDP类比于生物的新陈代谢，为城市创造的总价值。这表明规模法则在城市中同样适用，只是生物体随着体重增大会导致新陈代谢以较慢的速度生长，而城市GDP的超线性规模法则会使城市的新陈代谢率随其规模增大而以更快的速度生长。
=== 核心方程 ===
=== 核心方程 ===
* [math]Y(t)[/math]：城市在时间[math]t[/math]的资源产出（GDP）；
* [math]Y(t)[/math]：城市在时间[math]t[/math]的资源产出（GDP）；
* [math]\frac{dN(t)}{dt}[/math]：人口随时间的变化率，即城市增长率；
* [math]\frac{dN(t)}{dt}[/math]：人口随时间的变化率，即城市增长率；
* [math]Y_{0}[/math]：一个归一化常数，规模法则的系数，代表城市的单人产出，即城市只有一个人的时候，资源产出是多少；
* [math]Y_{0}[/math]：规模法则（{{EquationNote|3}}）式的系数，代表城市的单人产出，即城市只有一个人的时候，资源产出是多少；
* [math]\beta[/math]：规模法则幂律指数（scaling exponent），反映了系统在规模（[math]N[/math]）缩放的时候，资源产出[math]Y[/math]的相对缩放速度；
* [math]\beta[/math]：规模法则（{{EquationNote|3}}）式的幂律指数（scaling exponent），反映了系统在规模（[math]N[/math]）缩放的时候，资源产出[math]Y[/math]的相对缩放速度；
* [math]R[/math]：维持每个个体平均所需的资源量；
* [math]R[/math]：维持每个个体平均所需的资源量；
* [math]E[/math]：增加一个新个体所需的平均资源量。
* [math]E[/math]：增加一个新个体所需的平均资源量。
=== 城市与生物的区别 ===
=== 城市与生物的区别 ===
城市生长方程与生物的核心区别在于其内在机制和增长模式：
* 增长极限：生物的生长方程（如West方程）解释了为什么生物体最终会达到一个确定的最大体型（determinate growth）。这是因为生物体的代谢率呈亚线性增长（[math]\beta < 1[/math]），而维持生命的成本呈线性增长，当两者达到平衡时，增长便会停止。相比之下，城市的超线性增长（[math]\beta > 1[/math]）意味着其在理论上没有增长上限，除非面临外部资源约束，否则将持续加速。
* 增长极限：生物的生长方程（如West方程）解释了为什么生物体最终会达到一个确定的最大体型（determinate growth）。这是因为生物体的生长方程{{EquationNote|10}}的右侧的两项分别代表代谢摄入的能量与维持成本。由于代谢能量随体重增加（亚线性）比维持成本（线性）随体重增加得更慢，所以这就会存在着一个平衡点，达到平衡时，增长便会停止。相比之下，城市的超线性规模法则（[math]\beta > 1[/math]）意味着其在理论上没有增长上限，除非面临外部资源约束，否则将持续加速。
* 内在机制：生物的增长由能量在维持现有组织和创造新组织之间的分配决定，其代谢效率随规模增大而降低。城市的增长是社会经济活动的结果，其超线性本质源于人口密度增加所带来的创新、财富创造和信息流动效率的提升。
* 内在机制：生物的生长由能量在维持现有组织和创造新组织之间的分配决定，其代谢效率随规模增大而降低。城市的增长是社会经济活动的结果，其超线性本质源于人口密度增加所带来的创新、财富创造和信息流动效率的提升。
* 规模法则差异：生物体的关键属性（如代谢率）随体型呈亚线性增长，即 [math]\beta = \frac{3}{4}[/math]。而城市的创新率、收入和专利数量等关键社会经济指标则随人口呈超线性增长，即 [math]\beta > 1[/math]，这正是城市区别于前两者的根本特征。
* 规模法则差异：生物体的关键属性（如代谢率）随体型呈亚线性规模法则，即 [math]\beta = \frac{3}{4}[/math]。而城市的创新率、收入和专利数量等关键社会经济指标则随人口呈超线性规模法则，即 [math]\beta > 1[/math]，这正是城市区别于前两者的根本特征。
=== 超线性增长：繁荣与崩溃===
=== 超指数增长：繁荣与崩溃===
Bettencourt等<ref name=":3" />提出，由超线性规模法则（[math]\beta > 1[/math]）驱动的城市增长，这种增长模式被称'''“繁荣-崩溃”（boom/collapse）'''模式。方程{{EquationNote|12}}的解分为两种情况：
Bettencourt等<ref name=":3" />提出，由超线性规模法则（[math]\beta > 1[/math]）驱动的城市增长，这种增长模式被称'''“繁荣-崩溃”（boom/collapse）'''模式。方程{{EquationNote|12}}的解分为两种情况：