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和确定系统的情况类似，为了刻画Koopman算子在瞬时（即演化时间t趋近于0）的演化特性，我们引入无穷小生成元 <math> \mathcal{L}_{\text{stoch}} </math>，用以消除<math> \mathcal{K}^t_{\text{stoch}} </math>对时间t的依赖，根据[[随机]]微积分里的“[[链式法则]]”————[[伊藤公式（Ito's lemma）]]，可以将[[随机]] Koopman [[算子]]的[[生成元]]展开为：

和确定系统的情况类似，为了刻画Koopman算子在瞬时（即演化时间t趋近于0）的演化特性，我们引入无穷小生成元 <math> \mathcal{L}_{\text{stoch}} </math>，用以消除<math> \mathcal{K}^t_{\text{stoch}} </math>对时间t的依赖，根据[[随机]]微积分里的“[[链式法则]]”————[[伊藤公式（Ito's lemma）]]，可以将[[随机]] Koopman [[算子]]的[[生成元]]展开为：

:<math> \mathcal{L}_{\text{stoch}} g(x) = \lim_{t \to 0} \frac{\mathcal{K}^t_{\text{stoch}} g(x) - g(x)}{t} =\underbrace{\nabla g(x) \cdot \mathbf{f}(x)}_{\text{确定性漂移项}} + \underbrace{\frac{1}{2} \text{Tr} \left( \sigma(x) \sigma(x)^T \nabla^2 g(x)  \right]}_{\text{随机扩散项}} </math>

:<math> \mathcal{L}_{\text{stoch}} g(x) = \lim_{t \to 0} \frac{\mathcal{K}^t_{\text{stoch}} g(x) - g(x)}{t} =\underbrace{\nabla g(x) \cdot \mathbf{f}(x)}_{\text{确定性漂移项}} + \underbrace{\frac{1}{2} \text{Tr} \left[ \sigma(x) \sigma(x)^T \nabla^2 g(x)  \right]}_{\text{随机扩散项}} </math>

其中， <math> \nabla g \cdot f </math>为与[[确定性系统]]的[[生成元]]一致，对应无[[噪声]]时观测函数的瞬时变化率，<math> σ(x) </math>为[[噪声]]贡献项，<math> Tr(⋅) </math>是矩阵[[迹]]（对角线元素之和），<math> \nabla^2 g</math>是 <math> g </math>的[[Hessian 矩阵]]（二阶偏导数矩阵）。[[噪声]]项通过 [[Hessian 矩阵]]影响观测函数的演化，反映[[噪声]]对观测不[[确定性]]的贡献，当[[噪声]]强度<math> \sigma(x) = 0 </math>时，[[随机]][[算子]]退化为[[确定性]][[连续]]时间 Koopman [[算子]]，[[随机]] Koopman [[算子]]的[[特征值]]可能包含衰减项（对应[[噪声]]导致的不[[确定性]][[耗散]]），[[特征函数]]可刻画系统的 “平均[[线性化]]” 演化。

其中， <math> \nabla g \cdot f </math>为与[[确定性系统]]的[[生成元]]一致，对应无[[噪声]]时观测函数的瞬时变化率，<math> σ(x) </math>为[[噪声]]贡献项，<math> Tr(⋅) </math>是矩阵[[迹]]（对角线元素之和），<math> \nabla^2 g</math>是 <math> g </math>的[[Hessian 矩阵]]（二阶偏导数矩阵）。[[噪声]]项通过 [[Hessian 矩阵]]影响观测函数的演化，反映[[噪声]]对观测不[[确定性]]的贡献，当[[噪声]]强度<math> \sigma(x) = 0 </math>时，[[随机]][[算子]]退化为[[确定性]][[连续]]时间 Koopman [[算子]]，[[随机]] Koopman [[算子]]的[[特征值]]可能包含衰减项（对应[[噪声]]导致的不[[确定性]][[耗散]]），[[特征函数]]可刻画系统的 “平均[[线性化]]” 演化。