更改

:<math>   

:<math>   

\mathbf{H} = \begin{bmatrix} x(t_1) & x(t_2) & \cdots & x(t_p) \\ x(t_2) & x(t_3) & \cdots & x(t_{p+1}) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x(t_q) & x(t_{q+1}) & \cdots & x(t_m) \end{bmatrix}.   

\mathbf{H}(t) = \begin{bmatrix} x(t_1) & x(t_2) & \cdots & x(t_p) \\ x(t_2) & x(t_3) & \cdots & x(t_{p+1}) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x(t_q) & x(t_{q+1}) & \cdots & x(t_m) \end{bmatrix}.   

</math>

</math>

<math>\mathbf{H}</math> 的每一列都可以通过将前一列在时间上向前推进一步来获得。因此，我们可以用 Koopman [[算子]] <math>\mathcal{K}</math> 重写上式：   

<math>\mathbf{H}(t)</math> 的每一列都可以通过将前一列在时间上向前推进一步来获得。因此，我们可以用 Koopman [[算子]] <math>\mathcal{K}</math> 重写上式：   

:<math>   

:<math>   

</math>   

</math>   

:<math>   

:<math>   

\mathbf{H} = \mathbf{U}\mathbf{\Sigma}\mathbf{V}^*.   

\mathbf{H}(t+\tau) = \mathbf{K}\mathbf{H}(t).   

</math>

</math>  

来自[[SVD]]的<math>\mathbf{U}</math>和<math>\mathbf{V}</math>的列分别按其对 <math>\mathbf{H}</math> 的列和行建模的重要性逐次排列。根据定义，[[动力学]]将[[吸引子]]映射到自身，使其对[[流映射]]不变。通常，<math>\mathbf{H}</math> 允许用 <math>\mathbf{U}</math> 和 <math>\mathbf{V}</math> 的前 <math>r</math> 列进行低秩近似，因此这些列近似了一个 Koopman 不变子空间。因此，Hankel矩阵的列可以很好地由 <math>\mathbf{U}</math> 的前 <math>r</math> 列来近似。<math>\mathbf{V}</math> 的前 <math>r</math> 列则描述了[[降维]]后的时间延迟空间中[[系统状态]]的随时间的演化轨迹。所以，通过绘制 <math>\mathbf{V}</math> 的前三列，我们重新获得了[[Lorenz系统]]的[[吸引子]]，如图中右上角所示。

<math>\tau</math>便是作用一次Koopman算子所推进的时间步长。相应地，我们也可以把上式用微分方程的形式表述出来，这里不再赘述。它同样可以看成，我们是用同一个 <math>\mathbf{H}</math> 的前 <math>p-1</math> 列和后 <math>p-1</math> 列组成的两个矩阵进行DMD估计。

在延迟坐标 <math>\mathbf{v}</math> 上，我们可以得到一个最佳拟合线性[[回归]]模型。一个很直接的做法是，我们可以对由 <math>\mathbf{H}</math> 的前 <math>p-1</math> 列和后 <math>p-1</math> 列组成的两个矩阵进行DMD估计。在实践中，学者建议对由 <math>\mathbf{V}</math> 的前 <math>p-1</math> 列和后 <math>p-1</math> 列组成的[[类似]]矩阵进行DMD估计，因为这样我们便可以在一个[[降维]]的特征空间中拟合系统的演化。

任意选取的Hankel矩阵可能不满足Koopman不变子空间的要求。对于足够的数据量，系统将收敛到一个[[吸引子]]，使得 <math>\mathbf{H}</math> 的列变得近似线性相关。在这种情况下，可以通过计算 <math>\mathbf{H}</math> 的[[SVD]]可以获得一个Koopman不变子空间。这实际上是对原本的Hankel矩阵进行了低秩近似，从而让我们可以用部分的奇异向量代替原本的Hankel矩阵进行拟合估计。对于[[Lorenz系统]]的[[吸引子]]，我们用前3个右奇异向量便重构出了原系统的大致运动情况，如图中右上角所示。

 

'''输出：'''下面是关于 <math>\mathbf{V}</math> 中变量的线性[[回归]]模型， 

 

其中 <math>\mathbf{v}(t) = \begin{bmatrix} v_1(t) & v_2(t) & \cdots & v_{r}(t) \end{bmatrix}^T</math>便是来自奇异向量<math>\mathbf{V}</math> 的前 <math>r</math> 列。这里的<math>\mathbf{A}</math>便是我们拟合输出的结果。Champion, Brunton 和 Kutz等人表明<ref name=champion_2019>K. P. Champion, S. L. Brunton, and J. N. Kutz, Discovery of nonlinear multiscale systems: Sampling strategies and embeddings, SIAM J. Appl. Dyn. Syst., 18 (2019), pp. 312--333, https://doi.org/10.1137/18M1188227. (Cited on pp. 288, 289)</ref>，该[[线性系统]]捕捉了弱[[非线性系统]]的[[动力学]]。然而，对于[[混沌系统]]，即使有近似Koopman不变的测量系统，在识别封闭的线性模型方面仍存在挑战。无论多么高维的线性模型，都无法捕捉多个[[不动点]]或具有正[[Lyapunov指数]]的[[混沌]]所特有的不可预测行为<ref name=Brunton_2016>S. L. Brunton, B. W. Brunton, J. L. Proctor, and J. N. Kutz, Koopman invariant subspaces and finite linear representations of nonlinear dynamical systems for control, PLoS ONE, 11 (2016), art. e0150171. (Cited on pp. 234, 247, 248, 254, 284, 285, 286, 288, 295, 308, 309, 312, 318)</ref>。与其为 <math>\mathbf{V}</math> 中的前 <math>r</math> 个变量构建一个封闭的线性模型，不如在前 <math>r-1</math> 个变量上构建一个线性模型，并将最后一个变量 <math>v_r</math> 强加为一个外力项<ref name=brunton_2017 />：   

另外。Champion, Brunton 和 Kutz等人表明<ref name=champion_2019>K. P. Champion, S. L. Brunton, and J. N. Kutz, Discovery of nonlinear multiscale systems: Sampling strategies and embeddings, SIAM J. Appl. Dyn. Syst., 18 (2019), pp. 312--333, https://doi.org/10.1137/18M1188227. (Cited on pp. 288, 289)</ref>，该[[线性系统]]捕捉了弱[[非线性系统]]的[[动力学]]。然而，对于[[混沌系统]]，即使有近似Koopman不变的测量系统，在识别封闭的线性模型方面仍存在挑战。无论多么高维的线性模型，都无法捕捉多个[[不动点]]或具有正[[Lyapunov指数]]的[[混沌]]所特有的不可预测行为<ref name=Brunton_2016>S. L. Brunton, B. W. Brunton, J. L. Proctor, and J. N. Kutz, Koopman invariant subspaces and finite linear representations of nonlinear dynamical systems for control, PLoS ONE, 11 (2016), art. e0150171. (Cited on pp. 234, 247, 248, 254, 284, 285, 286, 288, 295, 308, 309, 312, 318)</ref>。与其为 <math>\mathbf{V}</math> 中的前 <math>r</math> 个变量构建一个封闭的线性模型，不如在前 <math>r-1</math> 个变量上构建一个线性模型，并将最后一个变量 <math>v_r</math> 强加为一个外力项<ref name=brunton_2017 />：

   

:<math>   

:<math>