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</math>
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|{{EquationRef|1}}}}
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其中<math>x</math>是状态变量，<math>r</math>为分岔参数。
其中<math>x</math>是状态变量，<math>r</math>为分岔参数。对于标准型，<math>x</math>与<math>r</math>的取值范围为<math>R</math>。
对于更复杂的系统，如<math>\dot{x} = r - x^2 - e^x</math>，<math>x</math>与<math>r</math>的取值范围为应为不动点<math>x*</math>与<math>r_c</math>的邻域。
其关键性质在于，随着系统参数<math>r</math>的改变，相空间中原本存在的两个不动点（一个稳定，一个不稳定）相互靠近、碰撞并最终相互抵消而消失，导致系统原本的稳定状态不复存在。也可反过来看待，原本状态不稳定的系统因系统参数<math>r</math>的改变，使其先出现了一个半稳定不动点，最终出现了两个不动点（一个稳定，一个不稳定）。
其关键性质在于，随着系统参数<math>r</math>的改变，相空间中原本存在的两个不动点（一个稳定，一个不稳定）相互靠近、碰撞并最终相互抵消而消失，导致系统原本的稳定状态不复存在。也可反过来看待，原本状态不稳定的系统因系统参数<math>r</math>的改变，使其先出现了一个半稳定不动点，最终出现了两个不动点（一个稳定，一个不稳定）。
==稳定性分析==
==不动点和稳定性分析==
以<math display="block">
以<math display="block">
\dot{x} = r - x^2
\dot{x} = r - x^2
为例
为例
===不动点判断===
===不动点判断===
令<math>f(x)=r-x^2</math>，有不动点<math>x^*=\pm \sqrt{r}</math>。当<math>r<0</math>时，没有不动点；当<math>r=0</math>时，有一个不动点；当<math>r>0</math>时，有两个不动点。
令<math>f(x)=r-x^2</math>，令<math>f(x)=0</math>，有不动点<math>x^*=\pm \sqrt{r}</math>，此时<math>r</math>的范围在<math>\left [ 0,+ \infty \right ) </math>有实际意义。当<math>r<0</math>时，没有不动点；当<math>r=0</math>时，有一个不动点；当<math>r>0</math>时，有两个不动点。
===不动点稳定性分析===
===不动点稳定性分析===
<math>f'(x^*)=-2x^*</math>。当<math>r>0</math>时，<math>x^*=\sqrt{r}</math>，有<math>f'(x^*)<0</math>，是稳定不动点；<math>x^*=-\sqrt{r}</math>，有<math>f'(x^*)>0</math>，是不稳定不动点。<math>r>0</math>为分岔点，有<math>f'(x^*)=0</math>
<math>f'(x^*)=-2x^*</math>。当<math>r>0</math>时，<math>x^*=\sqrt{r}</math>，有<math>f'(x^*)<0</math>，是稳定不动点；<math>x^*=-\sqrt{r}</math>，有<math>f'(x^*)>0</math>，是不稳定不动点。<math>r>0</math>为分岔点，有<math>f'(x^*)=0</math>