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==城市规模法则==

==城市规模法则==

城市规模法则揭示了城市变量与人口规模的[[非线性]]关系。基础设施通常呈次线性标度，社会经济产出与创新表现为超线性标度，个体需求接近线性。其中最关键的规模法则是城市GDP与人口的超线性规模法则，而且幂指数普遍落在1.15左右。除此之外，以城市街道为代表的基础设施普遍呈现出亚线性的规模法则，例如城市街道总长度与人口呈现幂指数为0.87左右的亚线性规模法则。这些规模法则的普遍存在，预示着城市的生长满足普适的规律，为了揭示这些规律，人们提出了各种解释城市规模法则的模型。

城市规模法则揭示了城市变量与人口规模的[[非线性]]关系：基础设施通常呈亚线性规模法则，社会经济产出与创新表现为超线性规模法则，个体需求相关的变量则呈现近线性规模法则。其中最关键的规模法则是城市GDP与人口的超线性规模法则，而且幂指数普遍落在1.15左右。除此之外，以城市街道为代表的基础设施普遍呈现出亚线性的规模法则，例如城市街道总长度与人口呈现幂指数为0.87左右的亚线性规模法则。这些规模法则的普遍存在，预示着城市的生长满足普适的规律，为了揭示这些规律，人们提出了各种解释城市规模法则的模型。

===[[贝当古城市模型]]===

===[[贝当古城市模型]]===

贝当古（Bettencourt）城市模型是由原[[圣塔菲研究所]]的学者Luis Bettencourt于2013年提出的模型，它包含了比较宏观的概念模型（从基本的[[量纲分析]]和[[平均场近似]]推出最基本的规模法则），也包含一个[[类似]][[生物系统]]WBE模型的城市层次化网络模型（包含较强的城市路网层次化分级假设，可以推出多个宏观指标的规模法则）部分，旨在解释城市[[规模标度律]]背后的普适[[机制]]，关于该模型的详细讨论，可参考：<ref name=":8">[https://wiki.swarma.org/index.php/%E8%B4%9D%E5%BD%93%E5%8F%A4%E5%9F%8E%E5%B8%82%E6%A8%A1%E5%9E%8B 贝当古城市模型]</ref>。

贝当古（Bettencourt）城市模型是由原[[圣塔菲研究所]]的学者Luis Bettencourt于2013年提出的模型，它包含了比较宏观的概念模型（从基本的[[量纲分析]]和[[平均场近似]]推出最基本的规模法则），也包含一个类似[[生物系统]][[WBE模型]]的[[城市层次化网络模型]]（包含较强的城市路网层次化分级假设，可以推出多个宏观指标的规模法则）部分，旨在解释城市[[规模标度律]]背后的普适机制，关于该模型的详细讨论，可参考：<ref name=":8">[https://wiki.swarma.org/index.php/%E8%B4%9D%E5%BD%93%E5%8F%A4%E5%9F%8E%E5%B8%82%E6%A8%A1%E5%9E%8B 贝当古城市模型]</ref>。

====城市[[规模标度律]]的基本模式====

====城市[[规模标度律]]的基本模式====

城市[[规模标度律]]通常表示为 [math]\displaystyle{ Y = cN^{\beta} }[/math]，其中 [math]\displaystyle{Y}[/math] 为城市属性，[math]\displaystyle{N}[/math] 为人口，指数 [math]\displaystyle{\beta}[/math] 决定了标度类型<ref name=":8" />。实证表明，城市的属性分成三类：第一类是与社会交互和创新相关的属性，表现为超线性增长（β≈1.15），包括城市GDP、专利数量、新企业创建数量、艺术场所数量等。这意味着城市规模每增加一倍，这些属性的增长会超过两倍，体现了大城市在经济和创新方面的显著优势。第二类是与[[物理]]基础设施相关的属性，呈现亚线性增长（β≈0.85），如道路总长度、加油站数量、电力线路长度等。这表明大城市能够更高效地利用基础设施，实现规模经济效应。第三类是与个人或家庭需求直接相关的属性，基本上与人口成线性关系（β≈1.0），包括住房数量、家庭用电量、用水量等。

城市[[规模标度律]]通常表示为 [math]\displaystyle{ Y = cN^{\beta} }[/math]，其中 [math]\displaystyle{Y}[/math] 为城市属性，[math]\displaystyle{N}[/math] 为人口，指数 [math]\displaystyle{\beta}[/math] 决定了标度类型<ref name=":8" />。实证表明，城市的属性分成三类：第一类是与社会交互和创新相关的属性，表现为超线性增长（β≈1.15），包括城市GDP、专利数量、新企业创建数量、艺术场所数量等。这意味着城市规模每增加一倍，这些属性的增长会超过两倍，体现了大城市在经济和创新方面的显著优势。第二类是与物理基础设施相关的属性，呈现亚线性增长（β≈0.85），如道路总长度、加油站数量、电力线路长度等。这表明大城市能够更高效地利用基础设施，实现规模经济效应。第三类是与个人或家庭需求直接相关的属性，基本上与人口成线性关系（β≈1.0），包括住房数量、家庭用电量、用水量等。

====模型的核心与理论基础====

====模型的核心与理论基础====

[math]\displaystyle{ \frac{A_n}{N} \cdot \frac{Y}{N} = G }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{A_n}{N} \cdot \frac{Y}{N} = G }[/math]

====宏观概念性模型====

====宏观概念性模型====

首先，贝当古在文章<ref name=":8" />中提出了一个宏观的概念性的模型，他大胆假设城市是一个[[类似]]于供人们发生[[相互作用]]的大的容器，并假设该容器中的人们已经充分混合，这些人与人的互动是沿着城市道路网络而进行的，它们产生的互动本社就形成了城市的GDP。因此，根据简单的[[平均场近似]]以及[[量纲分析]]等方法，他得出了最基础的规模法则，包括城市面积、GDP的规模法则等。

首先，贝当古在文章<ref name=":8" />中提出了一个宏观的概念性的模型，他大胆假设城市是一个类似于供人们发生[[相互作用]]的大的容器，并假设该容器中的人们已经充分混合，这些人与人的互动是沿着城市道路网络而进行的，它们产生的互动本社就形成了城市的GDP。因此，根据简单的[[平均场近似]]以及[[量纲分析]]等方法，他得出了最基础的规模法则，包括城市面积、GDP的规模法则等。

具体地，贝当古的宏观概念城市模型的建立可以被概括为两个递进的步骤：

具体地，贝当古的宏观概念城市模型的建立可以被概括为两个递进的步骤：

第一步：无组织的定居模型：这是一个对城市高度抽象、简化的起点，假设人口在城市空间内[[随机]]分布，城市可以类比为一个大容器，移动的人类比为理想气体中的分子一样，可以自由移动。在这个情景设定下，城市中没有道路，因此城市的整个二维面积都可以作为人与人互动的场所，人与人的互动进一步创造了GDP（GDP正比于单位时间内人与人[[相互作用]]的次数）。由此，从这几个假设，贝当古推出城市面积A与人口N的关系为[math]A \sim N^{2/3}[/math]，社会产出为[math]Y \sim N^{4/3}[/math]。虽然这个版本过度简化了现实情况，但它导出了最基本的规模法则。

第一步：无组织的定居模型：这是一个对城市高度抽象、简化的起点，假设人口在城市空间内随机分布，城市可以类比为一个大容器，移动的人类比为理想气体中的分子一样，可以自由移动。在这个情景设定下，城市中没有道路，因此城市的整个二维面积都可以作为人与人互动的场所，人与人的互动进一步创造了GDP（GDP正比于单位时间内人与人[[相互作用]]的次数）。由此，从这几个假设，贝当古推出城市面积A与人口N的关系为[math]A \sim N^{2/3}[/math]，社会产出为[math]Y \sim N^{4/3}[/math]。虽然这个版本过度简化了现实情况，但它导出了最基本的规模法则。

第二步：对上述模型进行进一步的精炼，引入了道路网络，并假设人们沿着道路移动和[[相互作用]]。贝当古提出了城市组织的四条基本原则：（1）人口充分混合原则，假设每个居民都能通过移动接触到城市的各个部分；（2）网络增长原则，假设基础设施网络随人口增长而扩展；（3）有限社会能力原则，约束了个体在移动和交互上的投入；（4）社会经济产出比例原则，将社会交互转化为经济产出。在这些原则约束下，模型得到了更符合实际的结果：道路面积[math]A_n \sim N^{5/6}[/math]，社会产出[math]Y \sim N^{7/6}[/math]。

第二步：对上述模型进行进一步的精炼，引入了道路网络，并假设人们沿着道路移动和[[相互作用]]。贝当古提出了城市组织的四条基本原则：（1）人口充分混合原则，假设每个居民都能通过移动接触到城市的各个部分；（2）网络增长原则，假设基础设施网络随人口增长而扩展；（3）有限社会能力原则，约束了个体在移动和交互上的投入；（4）社会经济产出比例原则，将社会交互转化为经济产出。在这些原则约束下，模型得到了更符合实际的结果：道路面积[math]A_n \sim N^{5/6}[/math]，社会产出[math]Y \sim N^{7/6}[/math]。

第四步：最优的社会互动产出参数G。在[[贝当古模型]]中，他引入了一个关键参数[math]G=\bar{g}a_0ℓ[/math]，它综合反映了人均社会互动产出强度 ([math]\bar{g}[/math])、互动范围 ([math]a_0[/math]) 和移动距离 ([math]ℓ[/math])，本质上是衡量“单位基础设施支撑下所能产生的社会经济互动量”的效率参数。该参数衡量了社会经济效率。模型显示，城市的净收益 L可表达为社会总产出 Y与总能耗成本W之差，并受混合条件与网络条件约束。通过最大化净收益 L，可以求解出最优的[math]G^{*}[/math]。理论预测[math]G^{*}\approx G_{\max}/8[/math]，其中[math] G_{\max}/8[/math]是城市不至于因拥堵成本过高而解体的上限。美国大多数都市区（MSA）的实测G值聚集在最优值附近，但存在明显偏离的案例：如加利福尼亚州河滨市（Riverside）和得克萨斯州布朗斯维尔市（Brownsville）的G值偏低，表明其社会互动潜力和基础设施效率未充分发挥；而康涅狄格州布里奇波特市（Bridgeport）的G值偏高，可能面临高昂的交通能耗成本。因此，参数 G及其与最优值的偏离，为诊断城市发展效率、评估规划政策（如调整密度、提升交通能效）提供了具体的理论依据和量化靶点.由于GDP和总的资源消耗服从相同幂指数的规模法则（都是1.15次幂），因此贝当古导出了一个城市的收益-成本模型，并通过最优化推导出G的最优值。他进一步将这一理论用于美国的各个城市，并筛选出效率高的城市和效率低的城市。

第四步：最优的社会互动产出参数G。在[[贝当古模型]]中，他引入了一个关键参数[math]G=\bar{g}a_0ℓ[/math]，它综合反映了人均社会互动产出强度 ([math]\bar{g}[/math])、互动范围 ([math]a_0[/math]) 和移动距离 ([math]ℓ[/math])，本质上是衡量“单位基础设施支撑下所能产生的社会经济互动量”的效率参数。该参数衡量了社会经济效率。模型显示，城市的净收益 L可表达为社会总产出 Y与总能耗成本W之差，并受混合条件与网络条件约束。通过最大化净收益 L，可以求解出最优的[math]G^{*}[/math]。理论预测[math]G^{*}\approx G_{\max}/8[/math]，其中[math] G_{\max}/8[/math]是城市不至于因拥堵成本过高而解体的上限。美国大多数都市区（MSA）的实测G值聚集在最优值附近，但存在明显偏离的案例：如加利福尼亚州河滨市（Riverside）和得克萨斯州布朗斯维尔市（Brownsville）的G值偏低，表明其社会互动潜力和基础设施效率未充分发挥；而康涅狄格州布里奇波特市（Bridgeport）的G值偏高，可能面临高昂的交通能耗成本。因此，参数 G及其与最优值的偏离，为诊断城市发展效率、评估规划政策（如调整密度、提升交通能效）提供了具体的理论依据和量化靶点.由于GDP和总的资源消耗服从相同幂指数的规模法则（都是1.15次幂），因此贝当古导出了一个城市的收益-成本模型，并通过最优化推导出G的最优值。他进一步将这一理论用于美国的各个城市，并筛选出效率高的城市和效率低的城市。

===匹配生长模型===

===[[匹配生长模型]]===

[[贝当古模型]]虽然能够成功复现城市中的各类规模法则，但是它仍有如下缺陷：1、原始模型基于平均场假说，难以建模城市中各元素的空间分布特征，特别是分形特征；2、层级化路网模型的引入虽然解释了各种规模法则，但是该模型基于规则分叉的层级化网络，过于理想化而不能模拟路网的分形特征。基于此，[[李睿琪]]、[[董磊]]等人提出了应用于城市生长的[[匹配生长模型]](matching growth model)<ref name=":15">Zhang, J., Li, X., Wang, X., Wang, W.-X., & Wu, L. (2015). Scaling behaviours in the growth of networked systems and their geometric origins. ''Scientific Reports'', ''5''(1). </ref>扩展<ref name="city_nc">{{cite journal|author1=Li, R.|author2=Dong, L.|author3=Zhang, J.|author4=Xinran Wang|author5=Wen-Xu Wang|author6=Zengru Di|author7=H. Eugene Stanley|title=Simple spatial scaling rules behind complex cities|journal=Nature Communications|volume=8|issue=1841|year=2017}}</ref>，从而很好地解决了这两个问题。

[[贝当古模型]]虽然能够成功复现城市中的各类规模法则，但是它仍有如下缺陷：1、原始模型基于平均场假说，难以建模城市中各元素的空间分布特征，特别是[[分形]]特征；2、层级化路网模型的引入虽然解释了各种规模法则，但是该模型基于规则分叉的层级化网络，过于理想化而不能模拟路网的[[分形]]特征。基于此，[[李睿琪]]、[[董磊]]等人提出了应用于城市生长的[[匹配生长模型]](matching growth model)<ref name=":15">Zhang, J., Li, X., Wang, X., Wang, W.-X., & Wu, L. (2015). Scaling behaviours in the growth of networked systems and their geometric origins. ''Scientific Reports'', ''5''(1). </ref>扩展<ref name="city_nc">{{cite journal|author1=Li, R.|author2=Dong, L.|author3=Zhang, J.|author4=Xinran Wang|author5=Wen-Xu Wang|author6=Zengru Di|author7=H. Eugene Stanley|title=Simple spatial scaling rules behind complex cities|journal=Nature Communications|volume=8|issue=1841|year=2017}}</ref>，从而很好地解决了这两个问题。

原始的匹配生长随机几何图模型是[[张江]]等人提出的一种揭示[[复杂系统]]的生长过程中，普遍存在的两类规模法则：相互作用的超线性规模法则和多样性的亚线性规模法则，以及生长过程中的加速效应，并可以象用于从唯象的角度解释城市系统，生态网络、文献引文网络、网络社区等多种复杂系统的演化规律<ref name=":9">[[匹配生长随机几何图模型]]</ref>。

原始的[[匹配生长随机几何图模型]]是[[张江]]等人提出的一种揭示[[复杂系统]]的生长过程中，普遍存在的两类规模法则：相互作用的超线性规模法则和多样性的亚线性规模法则，以及生长过程中的加速效应，并可以象用于从唯象的角度解释城市系统，生态网络、文献引文网络、网络社区等多种[[复杂系统]]的演化规律<ref name=":9">[[匹配生长随机几何图模型]]</ref>。

[[李睿琪]]、[[董磊]]等人后将该模型进行扩展<ref name="city_nc" />，特别是加入了空间吸引机制，从而可以使得扩展的模型可以模拟城市的生长，并可以模拟成交通路网，以及人类社会经济交互的空间分布的形成机制，特别是预测出[[活跃人口]]、道路网络，以及社会经济交互数据的[[分形维数]]，还可以复现这些指标的总体规模法则。

[[李睿琪]]、[[董磊]]等人后将该模型进行扩展<ref name="city_nc" />，特别是加入了空间吸引机制，从而可以使得扩展的模型可以模拟城市的生长，并可以模拟成交通路网，以及人类社会经济交互的空间分布的形成机制，特别是预测出[[活跃人口]]、道路网络，以及社会经济交互数据的[[分形维数]]，还可以复现这些指标的总体规模法则。

[[匹配生长模型]]假设了一个单调的网络生长过程（也就是说系统中的节点和连边都只能增加，而不能减少），以模拟任何具有个体交互特征的[[复杂系统]]的生长过程<ref name=":15" />。其次，我们假设网络中的所有节点都可以被嵌入一个欧氏空间中，并且每一个节点具有一个欧氏空间坐标（该空间可以是城市的地理空间，也可以是节点的某种抽象的特征空间）。再次，我们假设节点P和节点Q的相互作用是局部的；最后，只有能够与现有节点发生相互作用（即满足[math] |x_P - x_Q| \le r[/math]）的新增节点才能存在下去，这里[math]r[/math]为模型中的唯一参数。

[[匹配生长模型]]假设了一个单调的网络生长过程（也就是说系统中的节点和连边都只能增加，而不能减少），以模拟任何具有个体交互特征的[[复杂系统]]的生长过程<ref name=":15" />。其次，我们假设网络中的所有节点都可以被嵌入一个欧氏空间中，并且每一个节点具有一个欧氏空间坐标（该空间可以是城市的地理空间，也可以是节点的某种抽象的特征空间）。再次，我们假设节点P和节点Q的相互作用是局部的；最后，只有能够与现有节点发生相互作用（即满足[math] |x_P - x_Q| \le r[/math]）的新增节点才能存在下去，这里[math]r[/math]为模型中的唯一参数。

[[File:matchingprocess.png|二维平面上的[[匹配生长模型]]，其中每一个圆盘的中心点就是网络的节点，代表的对象可以是一个人、一个居民社区、一个用户等，节点之间的连边代表了节点之间的相互作用，圆盘代表了每个节点的覆盖范围大小。该模型的运行规则是，节点顺序地一个个地随机生成（二维坐标随机），但是只有当新节点与老节点的圆盘相互重叠（匹配）时，新节点才真正生长成功，一旦成功，则新节点会与其对应圆盘范围内的所有节点建立连边。该模型可模拟虚拟空间中的社区生长、网络生长，也可以经改造后模拟城市的生长。|300px|无|缩略图]]

[[File:matchingprocess.png|二维平面上的[[匹配生长模型]]，其中每一个圆盘的中心点就是网络的节点，代表的对象可以是一个人、一个居民社区、一个用户等，节点之间的连边代表了节点之间的相互作用，圆盘代表了每个节点的覆盖范围大小。该模型的运行规则是，节点顺序地一个个地随机生成（二维坐标随机），但是只有当新节点与老节点的圆盘相互重叠（匹配）时，新节点才真正生长成功，一旦成功，则新节点会与其对应圆盘范围内的所有节点建立连边。该模型可模拟虚拟空间中的社区生长、网络生长，也可以经改造后模拟城市的生长。|300px|无|缩略图]]

</math>

</math>

这三种规模法则可以模拟普遍存在于各类复杂系统中的相互作用的超线性规模法则，和多样性的亚线性规模法则，其中[math]N[/math] 表示系统的规模，[math]E[/math] 表示系统中的连边数，即系统中的相互作用，[math]V[/math]表示节点圆盘的覆盖区域的面积，可以建模系统中节点的多样性水平；[math]t[/math]代表整个网络的生长周期（总共产生了多少个随机点，也包括无效生长的点），[math]d[/math]代表空间维度，在二维空间中，[math]d=2[/math]。

这三种规模法则可以模拟普遍存在于各类[[复杂系统]]中的相互作用的超线性规模法则，和多样性的亚线性规模法则，其中[math]N[/math] 表示系统的规模，[math]E[/math] 表示系统中的连边数，即系统中的相互作用，[math]V[/math]表示节点圆盘的覆盖区域的面积，可以建模系统中节点的多样性水平；[math]t[/math]代表整个网络的生长周期（总共产生了多少个随机点，也包括无效生长的点），[math]d[/math]代表空间维度，在二维空间中，[math]d=2[/math]。

这里面的第一个式子，模拟了相互作用的超线性规模法则，其中幂律指数[math]\alpha =\frac{d+2}{d+1}>1[/math]；而第二个式子则模拟了多样性的亚线性规模法则，其中节点圆盘的覆盖面积对应为节点的多样性，这一亚线性规模法则的幂律指数为[math]\beta=\frac{d}{d+1}<1[/math]；第三个式子则模拟了很多复杂系统之中的加速生长现象，即系统规模的增长速度会随着系统的存活时间变长而变快，这一规律可以反映为时间与规模的亚线性规模法则，其中幂指数[math]\gamma=\frac{1}{d+1}[/math]。

这里面的第一个式子，模拟了相互作用的超线性规模法则，其中幂律指数[math]\alpha =\frac{d+2}{d+1}>1[/math]；而第二个式子则模拟了多样性的亚线性规模法则，其中节点圆盘的覆盖面积对应为节点的多样性，这一亚线性规模法则的幂律指数为[math]\beta=\frac{d}{d+1}<1[/math]；第三个式子则模拟了很多复杂系统之中的加速生长现象，即系统规模的增长速度会随着系统的存活时间变长而变快，这一规律可以反映为时间与规模的亚线性规模法则，其中幂指数[math]\gamma=\frac{1}{d+1}[/math]。

</math>

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即连边的超线性规模法则和多样性的亚线性规模法则的幂指数都会随着[math]\theta[/math]的变化而变化。当 [math]\theta[/math] 增大时，系统增长趋于线性。研究表明，超线性与次线性规律源于同一几何约束机制：活动密度增加压缩空间体积，从而使在线社区在增长中同时表现出交互加速与多样性减缓的“几何匹配”特征。

即连边的超线性规模法则和多样性的亚线性规模法则的幂指数都会随着[math]\theta[/math]的变化而变化。当 [math]\theta[/math] 增大时，系统增长趋于线性。研究表明，超线性与次线性规律源于同一几何约束机制：活动密度增加压缩空间体积，从而使在线社区在增长中同时表现出交互加速与多样性减缓的“几何[[匹配]]”特征。

有趣的是，该模型还预言，无论维数[math]d,\theta[/math]是多少，[math]\alpha+\beta=2[/math]，即相互作用的超线性规模法则和多样性的亚线性规模法则二者之间存在着一个相互制约的约束关系，这也可以反映社会分工的多样性与社会连接度的此消彼长的关系有关。详细信息可以参考：[[匹配生长模型]]。

有趣的是，该模型还预言，无论维数[math]d,\theta[/math]是多少，[math]\alpha+\beta=2[/math]，即相互作用的超线性规模法则和多样性的亚线性规模法则二者之间存在着一个相互制约的约束关系，这也可以反映社会分工的多样性与社会连接度的此消彼长的关系有关。详细信息可以参考：[[匹配生长模型]]。

====扩展到城市生长模型====

====扩展到城市生长模型====

2017年，[[李睿琪]]、[[董磊]]等人在文献<ref name="city_nc" />中改进了[[匹配生长模型]]，引入了空间吸引机制，使得模型可以模拟城市的生长行为，并解释城市系统中的规模法则，以及城市内部人口、道路和社会经济互动的空间分布及其背后的分形规律。他们认为，城市不仅是人口的聚集，还包括道路与互动网络的协同演化，这三者遵循统一的空间标度框架<ref name="city_nc" />。

2017年，[[李睿琪]]、[[董磊]]等人在文献<ref name="city_nc" />中改进了[[匹配生长模型]]，引入了空间吸引机制，使得模型可以模拟城市的生长行为，并解释城市系统中的规模法则，以及城市内部人口、道路和社会经济互动的空间分布及其背后的[[分形]]规律。他们认为，城市不仅是人口的聚集，还包括道路与互动网络的协同演化，这三者遵循统一的空间标度框架<ref name="city_nc" />。

=====引入空间吸引机制的匹配生长模型=====

=====引入空间吸引机制的[[匹配生长模型]]=====

模型的核心思想是：新形成的“活跃社区”（active population, AP）在空间上按照一定概率出现，其位置受现有人口密度与空地吸引力的共同作用。形式上，新节点在位置 [math]\displaystyle{(r,\theta)}[/math] 出现的概率为：

模型的核心思想是：新形成的“活跃社区”（active population, AP）在空间上按照一定概率出现，其位置受现有人口密度与空地吸引力的共同作用。形式上，新节点在位置 [math]\displaystyle{(r,\theta)}[/math] 出现的概率为：

[math]\displaystyle{ P(r,\theta,t) \propto \rho(r,\theta,t) + C }[/math]

[math]\displaystyle{ P(r,\theta,t) \propto \rho(r,\theta,t) + C }[/math]

其中 [math]\displaystyle{\rho(r,\theta,t)}[/math] 为局部人口密度，[math]\displaystyle{C}[/math] 表示空地的吸引强度，它是一个可以调节的正的实数，这是该模型中除了空间维数以外唯一的一个参数。当[math]C[/math]较大时，则新生成节点会比较均匀地分布不受已有节点密度的影响；当[math]C[/math]比较小的时候，则新生成的节点会以较大的概率在已有节点附近生成。同样的，当新节点距离现有节点过远时，因连接成本过高而无法存活，这就是“匹配生长”机制。将空间吸引机制与匹配生长机制结合，就可以使得我们可以用[math]C[/math]调节最终生成的节点分布情况。

其中 [math]\displaystyle{\rho(r,\theta,t)}[/math] 为局部人口密度，[math]\displaystyle{C}[/math] 表示空地的吸引强度，它是一个可以调节的正的实数，这是该模型中除了空间维数以外唯一的一个参数。当[math]C[/math]较大时，则新生成节点会比较均匀地分布不受已有节点密度的影响；当[math]C[/math]比较小的时候，则新生成的节点会以较大的概率在已有节点附近生成。同样的，当新节点距离现有节点过远时，因连接成本过高而无法存活，这就是“[[匹配]]生长”机制。将空间吸引机制与[[匹配]]生长机制结合，就可以使得我们可以用[math]C[/math]调节最终生成的节点分布情况。

=====活跃人口分布=====

=====活跃人口分布=====

在城市建模中，作者们认为，引入了空间吸引机制后的匹配生长模型可以建模城市中[[活跃人口]]的分布情况。所谓的活跃人口，是指城市中某一个空间点处的平均人口，通常可以用此点处的工作人口和居住人口按照工作/休息时间比例混合来进行估计。这种人口密度可以比一般的居住或工作人口更好地刻画人口在城市中的分布，并且更符合[[匹配生长模型]]的预测。

在城市建模中，作者们认为，引入了空间吸引机制后的[[匹配生长模型]]可以建模城市中[[活跃人口]]的分布情况。所谓的活跃人口，是指城市中某一个空间点处的平均人口，通常可以用此点处的工作人口和居住人口按照工作/休息时间比例混合来进行估计。这种人口密度可以比一般的居住或工作人口更好地刻画人口在城市中的分布，并且更符合[[匹配生长模型]]的预测。

下图展示的就是真实与用[[匹配生长模型]]模拟的伦敦市的活跃人口的分布情况：

下图展示的就是真实与用[[匹配生长模型]]模拟的伦敦市的活跃人口的分布情况：

=====道路生长机制=====

=====道路生长机制=====

:<math>

:<math>

=====空间幂律=====

=====空间幂律=====

活跃人口密度随中心距离衰减满足幂律：

活跃人口密度随中心距离衰减满足幂律：

===其他===

===其他===

这些模型大致可以分为两类：

这些模型大致可以分为两类：

#城市内部模型（Intra-city models）：强调城市内部人口互动和几何结构。例如，Bettencourt 模型把人类互动视为几何交叉截面，推导出城市面积与人口的 [math]\displaystyle{2/3}[/math] 次幂关系以及 GDP 的 [math]\displaystyle{7/6}[/math] 超线性关系；重力模型则假设个体间的互动概率随距离衰减，结合城市的分形空间结构，导出超线性幂律指数 [math]\displaystyle{\beta = 2 - \gamma / D_p}[/math]。

#城市内部模型（Intra-city models）：强调城市内部人口互动和几何结构。例如，Bettencourt 模型把人类互动视为几何交叉截面，推导出城市面积与人口的 [math]\displaystyle{2/3}[/math] 次幂关系以及 GDP 的 [math]\displaystyle{7/6}[/math] 超线性关系；重力模型则假设个体间的互动概率随距离衰减，结合城市的[[分形]]空间结构，导出超线性幂律指数 [math]\displaystyle{\beta = 2 - \gamma / D_p}[/math]。

#城市间模型（Inter-city models）：强调城市之间的扩散与层级结构，例如基于 Zipf 定律的层级扩散模型，将创新传播和城市规模分布联系起来<ref name=":10" />。

#城市间模型（Inter-city models）：强调城市之间的扩散与层级结构，例如基于 Zipf 定律的层级扩散模型，将创新传播和城市规模分布联系起来<ref name=":10" />。