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其中<math>f\left(x^{*}, r_{c}\right)=0</math>，且因为<math>x^*</math>是不动点，且由相切情况可得<math>\left. \frac {\partial f}{\partial x}\right|_{\left(x^{*} ; r_{c}\right)}=0</math>，再将<math>\left. \frac {\partial f}{\partial r}\right|_{\left(x ; r_{c}\right)}</math>视为常数<math>a</math>，将<math>\left. \frac {1}{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}\right|_{\left(x ; r_{c}\right)}</math>视为常数<math>b</math>。忽略后面的高阶项，即可得到<math>\dot{x} = a(r-r_c)+b(x-x^*)^2</math>
其中<math>f\left(x^{*}, r_{c}\right)=0</math>，且因为<math>x^*</math>是不动点，且由相切情况可得<math>\left. \frac {\partial f}{\partial x}\right|_{\left(x^{*} ; r_{c}\right)}=0</math>，再将<math>\left. \frac {\partial f}{\partial r}\right|_{\left(x ; r_{c}\right)}</math>视为常数<math>a</math>，将<math>\left. \frac {1}{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}\right|_{\left(x ; r_{c}\right)}</math>视为常数<math>b</math>。忽略后面的高阶项，即可得到<math>\dot{x} = a(r-r_c)+b(x-x^*)^2</math>
=案例=
=案例：云杉蚜虫爆发模型=
背景：云杉蚜虫是一种会吃森林树叶的虫子，同时也会被鸟类等动物捕食。
模型方程：
<math display="block">
\frac{dN}{dt} = rN(1 - \frac{N}{K}) - P(N)
</math>
*<math>rN(1 - N/K)</math> 是虫子的逻辑斯蒂增长（Logistic Growth）。
*<math>P(N)</math> 是捕食率曲线，通常呈 S 形，例如 <math>P(N) = \frac{BN^2}{A^2 + N^2}</math>。
以<math>\frac{dN}{dt} = rN(1 - \frac{N}{K}) - \frac{BN^2}{A^2 + N^2}</math>为例
提出N得到<math>\frac{dN}{dt} = N \cdot \left[ r(1 - \frac{N}{K}) - \frac{BN}{A^2 + N^2} \right]</math>
生态学背景下，一般假设<math>r>0</math>。此时<math>N=0</math>通常为不稳定不动点，因此分析实际问题时一般关注<math>N>0</math>的不动点的情况，即
<math display="block">
r(1 - \frac{N}{K}) = \frac{BN}{A^2 + N^2}
</math>。
对该方程可转化为求解两条曲线的交点问题。
*左侧<math>y_1(N) = r(1 - \frac{N}{K})</math>是一条穿过<math>(0, r)</math> 和 <math>(K, 0)</math> 的直线，斜率为负。
*右侧<math>y_2(N) = \frac{BN}{A^2 + N^2}</math>从原点出发，先上升后下降，呈单峰状，且为无量纲状态，与参数<math>r</math>、<math>K</math>均无关。
将环境承载力K视为主要控制参数
当<math>K</math>很小时，可看到两条曲线仅有一个交点，且为一个稳定不动点。
令<math>K</math>逐渐增大到某个临界值K1时，<math>y_1(N)</math>与<math>y_2(N)</math>的下降段相切，出现了一个半稳定不动点。
继续增大<math>K</math>，<math>y_1(N)</math>与<math>y_2(N)</math>的下降段出现了两个不动点（一个不稳定，一个稳定）。
此时这块下降段区域的变化就是鞍结点分岔。
=二维系统（以上）=
=二维系统（以上）=