更改

将Koopman[[算子]]限制在由有限个函数<math>\{g_j\}_{j=1}^p</math>张成的不变子空间上，可以获得它的有限维矩阵表示。矩阵<math>\mathbf{K}</math>作用在<math>\mathbb{R}^p</math>上的[[向量]]空间，其坐标由各个<math>g_j(\mathbf{x})</math>的取值给定。这将诱导出一个有限维的[[线性系统]]。

将Koopman[[算子]]限制在由有限个函数<math>\{g_j\}_{j=1}^p</math>张成的不变子空间上，可以获得它的有限维矩阵表示<math>\mathbf{K}</math>。矩阵<math>\mathbf{K}</math>作用在由观测函数取值构成的向量<math>\mathbf{g}(\mathbf{x})=[g_1(\mathbf{x}), ..., g_p(\mathbf{x})]^T</math>。这将诱导出一个有限维的[[线性系统]]。

Koopman[[算子]]的任意有限组[[特征函数]]都将张成一个不变子空间。把这些[[特征函数]]作为系统的“特征坐标”是Koopman分析中很重要的一步，因为沿这些[[特征函数]][[方向]]，[[系统动力学]]本质上是[[线性化]]的。在实际操作中，我们通常只能识别出一个近似的不变子空间，由一组函数<math>\{g_j\}_{j=1}^p</math>张成，并且每个函数<math>g_j</math>都可以由有限组[[特征函数]]近似表示<math> g_j \approx \sum_{k=1}^p v_{jk} \varphi_k </math>。如果我们在实际操作过程中，选取的观测函数不能张成一个不变子空间的话，最后得到的Koopman矩阵会出现[[伪特征值]]的问题（参见5.3.1节）<ref name=Colbrook_2024>Colbrook, M. J. & Townsend, A. Rigorous data‐driven computation of spectral properties of koopman operators for dynamical systems. Commun. Pure Appl. Math. 77, 221–283 (2024).</ref>。

Koopman[[算子]]的任意有限组[[特征函数]]都将张成一个不变子空间。把这些[[特征函数]]作为系统的“特征坐标”是Koopman分析中很重要的一步，因为沿这些[[特征函数]][[方向]]，[[系统动力学]]本质上是[[线性化]]的。在实际操作中，我们通常只能识别出一个近似的不变子空间，由一组函数<math>\{g_j\}_{j=1}^p</math>张成，并且每个函数<math>g_j</math>都可以由有限组[[特征函数]]近似表示<math> g_j \approx \sum_{k=1}^p v_{jk} \varphi_k </math>。如果我们在实际操作过程中，选取的观测函数不能张成一个不变子空间的话，最后得到的Koopman矩阵会出现[[伪特征值]]的问题（参见5.3.1节）<ref name=Colbrook_2024>Colbrook, M. J. & Townsend, A. Rigorous data‐driven computation of spectral properties of koopman operators for dynamical systems. Commun. Pure Appl. Math. 77, 221–283 (2024).</ref>。