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'''残差DMD算法'''<ref name=Colbrook_2024 />的核心思路是：通过数据驱动的方式求解近似Koopman矩阵<math>K</math>，再基于此算出所有Koopman候选特征对：<math>\lambda, \varphi</math>。<math>\varphi</math>便是特征值<math>\lambda</math>对应的特征函数。这里的候选特征值已经是在算法估计上保证偏离真实特征值的残差最小的特征值了。

'''残差DMD算法'''<ref name=Colbrook_2024 />的核心思路是：通过数据驱动的方式求解近似Koopman矩阵<math>K</math>，再基于此算出所有Koopman候选特征对：<math>\lambda, \varphi</math>。<math>\varphi</math>便是特征值<math>\lambda</math>对应的特征函数。这里的候选特征值已经是在算法估计上保证偏离真实特征值的残差最小的特征值了。

'''输入：'''系统变量的初始状态<math>\{x^{(j)}\}_{j=1}^M</math>、系统变量的下一时刻状态<math>\{y^{(j)}=F(x^{(j)})\}_{j=1}^M</math>、每个点对应的权重<math>\{w_j\}_{j=1}^M</math>、字典函数<math>\{\psi_j\}_{j=1}^{N}</math>（实践中，可直接用作观测函数）、判定是否是真特征值的阈值<math>\epsilon>0</math>

'''输入：'''系统变量的初始状态<math>\{x^{(j)}\}_{j=1}^M</math>、系统变量的下一时刻状态<math>\{y^{(j)}=F(x^{(j)})\}_{j=1}^M</math>、每个点对应的权重<math>\{w_j\}_{j=1}^M</math>、权重对角矩阵<math>W</math>、字典函数<math>\{\psi_j\}_{j=1}^{N}</math>（实践中，可直接用作观测函数）、由字典函数和两个时刻的状态构成的数据矩阵<math>\Psi_X/\Psi_Y</math>、判定是否是真特征值的阈值<math>\epsilon>0</math>

# 计算三个核心矩阵：<math>\Psi_X^* W \Psi_X</math>、<math>\Psi_X^* W \Psi_Y</math>、<math>\Psi_Y^* W \Psi_Y</math>（<math>\Psi_X/\Psi_Y</math>为字典在<math>x/y</math>上的取值矩阵，<math>W</math>为权重对角矩阵）。

# 计算三个核心矩阵：<math>\Psi_X^* W \Psi_X</math>、<math>\Psi_X^* W \Psi_Y</math>、<math>\Psi_Y^* W \Psi_Y</math>。

# 求解广义[[特征值]]<math>(\Psi_X^* W \Psi_Y)\varphi = \lambda(\Psi_X^* W \Psi_X)\varphi</math>，得到候选[[特征值]]和[[特征函数]]。

# 求解广义[[特征值]]<math>(\Psi_X^* W \Psi_Y)\varphi = \lambda(\Psi_X^* W \Psi_X)\varphi</math>，得到候选[[特征值]]和[[特征函数]]。

# 计算每个候选[[特征值]]的残差<math>\text{res}(\lambda_j, \varphi_j)</math>。

# 计算每个候选[[特征值]]的残差<math>\text{res}(\lambda_j, \varphi_j)</math>。