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在一般的[[动力系统]]中，Koopman[[算子]]的本征谱可能既有离散的[[点谱]]的结构，也会有[[连续谱]]的结构。离散谱意味着有限的几个[[特征函数]]不恒为0，它们对应着一些有序的周期或准周期结构，能量比较集中.更准确地说，离散谱对应的运动应是状态空间中测度不为零的点集所共有的行为。若仅是一条孤立且不稳定的周期轨道，由于其测度为零，通常不足以产生离散谱，除非该轨道是稳定的吸引子或属于整体规则演化的部分。

在一般的[[动力系统]]中，Koopman[[算子]]的本征谱可能既有离散的[[点谱]]的结构，也会有[[连续谱]]的结构。离散谱意味着有限的几个[[特征函数]]不恒为0，它们对应着一些有序的周期或准周期结构，能量比较集中.更准确地说，离散谱对应的运动应是状态空间中测度不为零的点集所共有的行为。若仅是一条孤立且不稳定的周期轨道，由于其测度为零，通常不足以产生离散谱，除非该轨道是稳定的吸引子或属于整体规则演化的部分。

而[[连续谱]]意味着在[[特征函数]]几乎处处为0，此时往往对应的是[[混沌]]的性质，能量比较弥散不集中。[[哈密顿系统]]的本征谱一般是离散谱，而当系统有阻尼（或其他外力）时，其[[振荡]]振幅会不断变化，则往往会得到[[连续谱]]。下面我们给出它们的严格定义。

而[[连续谱]]意味着在[[特征函数]]几乎处处为0，此时往往对应的是[[混沌]]的性质，能量比较弥散不集中。[[哈密顿系统]]的本征谱一般是离散谱，而当系统有阻尼（或其他外力）时，其[[振荡]]振幅会不断变化，则往往会得到[[连续谱]]。我们如今也具有了能有效处理具有连续谱或混合谱的复杂系统的方法<ref name=gov_2019>Govindarajan, N., Mohr, R., Chandrasekaran, S., & Mezic, I. (2019). On the Approximation of Koopman Spectra for Measure Preserving Transformations. SIAM Journal on Applied Dynamical Systems, 18(3), 1454–1497. https://doi.org/10.1137/18M1175094</ref>。下面我们给出它们的严格定义。

给定[[算子]] <math>\mathcal{T}: \mathcal{G} \rightarrow \mathcal{G}</math>，其中<math>\mathcal{G}</math>为某个函数空间，我们将谱 <math>\sigma(\mathcal{T})</math> 定义为使得[[算子]] <math>\mathcal{T} - \lambda \mathcal{I}</math> 不存在有界逆[[算子]]（bounded inverse）的[[标量]] <math>\lambda</math> 的[[集合]]。谱可以根据预解[[算子]]（resolvent） <math>(\mathcal{T} - \lambda \mathcal{I})^{-1}</math> 不存在为[[有界算子]]的具体原因进一步划分为不同的[[子集]]。   

给定[[算子]] <math>\mathcal{T}: \mathcal{G} \rightarrow \mathcal{G}</math>，其中<math>\mathcal{G}</math>为某个函数空间，我们将谱 <math>\sigma(\mathcal{T})</math> 定义为使得[[算子]] <math>\mathcal{T} - \lambda \mathcal{I}</math> 不存在有界逆[[算子]]（bounded inverse）的[[标量]] <math>\lambda</math> 的[[集合]]。谱可以根据预解[[算子]]（resolvent） <math>(\mathcal{T} - \lambda \mathcal{I})^{-1}</math> 不存在为[[有界算子]]的具体原因进一步划分为不同的[[子集]]。