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Koopman算子理论 (查看源代码)

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:<math>\displaystyle{ \varphi_μ = x_1 }</math> 和 <math>\displaystyle{ \varphi_\lambda = x_2 - bx_1^2 }</math>，

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其中 <math>\displaystyle{ b = \frac {\lambda} {\lambda-2μ} }</math> 。这个参数代表着快慢变量之间速度变化的比例，其中<math>x_1</math>是慢变量。如果我们以这些[[特征函数]]本身作为观测量来构建不变子空间，那么此时空间上的坐标就是Koopman不变子空间上的特征坐标<ref name=william_2015>M. O. Williams, I. G. Kevrekidis, and C. W. Rowley, A data-driven approximation of the Koopman operator: Extending dynamic mode decomposition, J. Nonlinear Sci., 6 (2015), pp. 1307--1346. ~~(Cited on pp. 246, 247, 256, 284, 285, 292)~~</ref>

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其中 <math>\displaystyle{ b = \frac {\lambda} {\lambda-2μ} }</math> 。这个参数代表着快慢变量之间速度变化的比例，其中<math>x_1</math>是慢变量。如果我们以这些[[特征函数]]本身作为观测量来构建不变子空间，那么此时空间上的坐标就是Koopman不变子空间上的特征坐标<ref name=william_2015>M. O. Williams, I. G. Kevrekidis, and C. W. Rowley, A data-driven approximation of the Koopman operator: Extending dynamic mode decomposition, J. Nonlinear Sci., 6 (2015), pp. 1307--1346.</ref>

[[文件:Exampleph.png|无|三维空间中系统动力学的流形，引自<ref name=william_2015 />|缩略图|600x600像素]]<br>

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在分析复杂的[[非线性系统]]时，传统的分析方法只能在不动点附近很小的领域内进行线性化处理，大大限制了我们对[[非线性系统]]的解释和预测。Koopman[[算子]]理论通过将系统的状态映射到由可观测函数构成的无穷维空间，从而在'''全局'''上将非线性动力学问题转化为一个无穷维线性算子问题。不过，这个理想的Koopman算子本身是无穷维的，无法直接计算。实践中，我们要利用Koopman不变子空间的概念（参见第3.3节），通过数据拟合出有限维的线性迭代系统，尽可能地逼近[[无限]]维的Koopman线性[[算子]]。

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那么如何用有限的、来自现实的数据，去逼近[[无限]]维的Koopman线性[[算子]]呢？最开始的方法是'''[[动力学模式分解]]（DMD，Dynamic Mode Decomposition）'''<ref name=Schmid_2010>P. J. Schmid, Dynamic mode decomposition of numerical and experimental data, J. Fluid Mech., 656 (2010), pp. 5--28.</ref>，它直接把“[[状态变量]]本身”当作观测函数。然而，对于真正的[[非线性系统]]，DMD的近似就太粗糙了。故此后学者们围绕着“如何更有效地拓展观测空间”与“如何优化求解过程”展开。'''扩展动态[[模式分解]]（EDMD, Extended Dynamic Mode Decomposition）'''<ref name=william_2015~~>M. O. Williams, I. G. Kevrekidis, and C. W. Rowley, A data-driven approximation of the Koopman operator: Extending dynamic mode decomposition, J. Nonlinear Sci., 6 (2015), pp. 1307--1346.<~~/~~ref~~>通过预定义的[[非线性]]函数显式拓展；'''残差动态[[模式分解]]（ResDMD, Residual DMD）'''<ref name=Colbrook_2023>Colbrook, M. J., Ayton, L. J. & Szőke, M. Residual dynamic mode decomposition: Robust and verified koopmanism. J. Fluid Mech. 955, A21 (2023).</ref><ref name=Colbrook_2024>Colbrook, M. J. & Townsend, A. Rigorous data‐driven computation of spectral properties of koopman operators for dynamical systems. Commun. Pure Appl. Math. 77, 221–283 (2024).</ref>致力于严格评估逼近精度并筛选可靠模态；'''核动态[[模式分解]]（Kernel DMD）'''<ref name=william_2015_kernal>M. O. Williams, C. W. Rowley, and I. G. Kevrekidis, A kernel approach to data-driven Koopman spectral analysis, J. Comput. Dynam., 2 (2015), pp. 247--265.</ref><ref name=Gonzalez_2023_kernal>Gonzalez, E., Abudia, M., Jury, M., Kamalapurkar, R. & Rosenfeld, J. A. The kernel perspective on dynamic mode decomposition. Preprint at https://doi.org/10.48550/arXiv.2106.00106 (2023).</ref>利用[[核技巧]]隐式构建观测函数空间；'''基于[[神经网络]]的动态[[模式分解]]（[[Neural Network]] DMD）'''<ref name=CW2018>C. Wehmeyer and F. Noe\', Time-lagged autoencoders: Deep learning of slow collective variables for molecular kinetics, J. Chem. Phys., 148 (2018), pp. 1--9.</ref><ref name=NT2017>N. Takeishi, Y. Kawahara, and T. Yairi, Learning Koopman invariant subspaces for dynamic mode decomposition, in Advances in Neural Information Processing Systems, 2017, pp. 1130--1140.</ref>用[[深度学习]]自动学习最优的拓展方式；'''时间延迟动态[[模式分解]]（Time-delay DMD/Hankel DMD）'''<ref name=brunton_2017>S. L. Brunton, B. W. Brunton, J. L. Proctor, E. Kaiser, and J. N. Kutz, Chaos as an intermittently forced linear system, Nature Commun., 8 (2017), pp. 1--9.</ref>通过历史数据构造[[嵌入空间]]；'''[[随机]]动态[[模式分解]]（Randomized DMD）'''<ref name=ranDMD>Erichson, N. B., Mathelin, L., Kutz, J. N. & Brunton, S. L. Randomized dynamic mode decomposition. Siam J. Appl. Dyn. Syst. 18, 1867–1891 (2019)</ref>专注于利用[[随机]]算法提升高维问题的计算效率；'''最优[[模式分解]]（OPD/Optimal DMD）'''<ref name=opdmd>T. Askham and J. N. Kutz, Variable projection methods for an optimized dynamic mode decomposition, SIAM J. Appl. Dyn. Syst., 17 (2018), pp. 380--416, https://doi.org/10. 1137/M1124176.</ref>将问题重构为全局[[非线性]]优化以求取最佳拟合；'''多分辨率动态[[模式分解]]（mrDMD, Multiresolution DMD）'''<ref name=mrdmd>J. N. Kutz, X. Fu, and S. L. Brunton, Multiresolution dynamic mode decomposition, SIAM J. Appl. Dyn. Syst., 15 (2016), pp. 713--735, https://doi.org/10.1137/15M1023543.</ref>则能分离系统在不同时间尺度或层次上的[[动力学]]；'''前向-后向动态[[模式分解]]（fbDMD, forward-backward DMD）'''<ref name=fbdmd>S. T. Dawson, M. S. Hemati, M. O. Williams, and C. W. Rowley, Characterizing and correcting for the effect of sensor noise in the dynamic mode decomposition, Exp. Fluids, 57 (2016), pp. 1--19.</ref>通过平均正反向数据提升稳定性；'''张量动态[[模式分解]]（Tensor DMD）'''<ref name=tensordmd>S. Klus, P. Gel{\ss}, S. Peitz, and C. Sch\"utte, Tensor-based dynamic mode decomposition, Nonlinearity, 31 (2018), pp. 3359--3380.</ref>处理具有空间结构的多维数据；'''受控动态[[模式分解]]（Controlled DMD）'''<ref name=DMDc>J. L. Proctor, S. L. Brunton, and J. N. Kutz, Dynamic mode decomposition with control, SIAM J. Appl. Dyn. Syst., 15 (2016), pp</ref>则旨在辨识含外部输入系统的Koopman模型。DMD算法现在已经扩展出许多不同的版本，在这里只是罗列的部分情况，下文会对主流的几种方法进行更详细的介绍，其他算法请参考文献。

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那么如何用有限的、来自现实的数据，去逼近[[无限]]维的Koopman线性[[算子]]呢？最开始的方法是'''[[动力学模式分解]]（DMD，Dynamic Mode Decomposition）'''<ref name=Schmid_2010>P. J. Schmid, Dynamic mode decomposition of numerical and experimental data, J. Fluid Mech., 656 (2010), pp. 5--28.</ref>，它直接把“[[状态变量]]本身”当作观测函数。然而，对于真正的[[非线性系统]]，DMD的近似就太粗糙了。故此后学者们围绕着“如何更有效地拓展观测空间”与“如何优化求解过程”展开。'''扩展动态[[模式分解]]（EDMD, Extended Dynamic Mode Decomposition）'''<ref name=william_2015 />通过预定义的[[非线性]]函数显式拓展；'''残差动态[[模式分解]]（ResDMD, Residual DMD）'''<ref name=Colbrook_2023>Colbrook, M. J., Ayton, L. J. & Szőke, M. Residual dynamic mode decomposition: Robust and verified koopmanism. J. Fluid Mech. 955, A21 (2023).</ref><ref name=Colbrook_2024>Colbrook, M. J. & Townsend, A. Rigorous data‐driven computation of spectral properties of koopman operators for dynamical systems. Commun. Pure Appl. Math. 77, 221–283 (2024).</ref>致力于严格评估逼近精度并筛选可靠模态；'''核动态[[模式分解]]（Kernel DMD）'''<ref name=william_2015_kernal>M. O. Williams, C. W. Rowley, and I. G. Kevrekidis, A kernel approach to data-driven Koopman spectral analysis, J. Comput. Dynam., 2 (2015), pp. 247--265.</ref><ref name=Gonzalez_2023_kernal>Gonzalez, E., Abudia, M., Jury, M., Kamalapurkar, R. & Rosenfeld, J. A. The kernel perspective on dynamic mode decomposition. Preprint at https://doi.org/10.48550/arXiv.2106.00106 (2023).</ref>利用[[核技巧]]隐式构建观测函数空间；'''基于[[神经网络]]的动态[[模式分解]]（[[Neural Network]] DMD）'''<ref name=CW2018>C. Wehmeyer and F. Noe\', Time-lagged autoencoders: Deep learning of slow collective variables for molecular kinetics, J. Chem. Phys., 148 (2018), pp. 1--9.</ref><ref name=NT2017>N. Takeishi, Y. Kawahara, and T. Yairi, Learning Koopman invariant subspaces for dynamic mode decomposition, in Advances in Neural Information Processing Systems, 2017, pp. 1130--1140.</ref>用[[深度学习]]自动学习最优的拓展方式；'''时间延迟动态[[模式分解]]（Time-delay DMD/Hankel DMD）'''<ref name=brunton_2017>S. L. Brunton, B. W. Brunton, J. L. Proctor, E. Kaiser, and J. N. Kutz, Chaos as an intermittently forced linear system, Nature Commun., 8 (2017), pp. 1--9.</ref>通过历史数据构造[[嵌入空间]]；'''[[随机]]动态[[模式分解]]（Randomized DMD）'''<ref name=ranDMD>Erichson, N. B., Mathelin, L., Kutz, J. N. & Brunton, S. L. Randomized dynamic mode decomposition. Siam J. Appl. Dyn. Syst. 18, 1867–1891 (2019)</ref>专注于利用[[随机]]算法提升高维问题的计算效率；'''最优[[模式分解]]（OPD/Optimal DMD）'''<ref name=opdmd>T. Askham and J. N. Kutz, Variable projection methods for an optimized dynamic mode decomposition, SIAM J. Appl. Dyn. Syst., 17 (2018), pp. 380--416, https://doi.org/10. 1137/M1124176.</ref>将问题重构为全局[[非线性]]优化以求取最佳拟合；'''多分辨率动态[[模式分解]]（mrDMD, Multiresolution DMD）'''<ref name=mrdmd>J. N. Kutz, X. Fu, and S. L. Brunton, Multiresolution dynamic mode decomposition, SIAM J. Appl. Dyn. Syst., 15 (2016), pp. 713--735, https://doi.org/10.1137/15M1023543.</ref>则能分离系统在不同时间尺度或层次上的[[动力学]]；'''前向-后向动态[[模式分解]]（fbDMD, forward-backward DMD）'''<ref name=fbdmd>S. T. Dawson, M. S. Hemati, M. O. Williams, and C. W. Rowley, Characterizing and correcting for the effect of sensor noise in the dynamic mode decomposition, Exp. Fluids, 57 (2016), pp. 1--19.</ref>通过平均正反向数据提升稳定性；'''张量动态[[模式分解]]（Tensor DMD）'''<ref name=tensordmd>S. Klus, P. Gel{\ss}, S. Peitz, and C. Sch\"utte, Tensor-based dynamic mode decomposition, Nonlinearity, 31 (2018), pp. 3359--3380.</ref>处理具有空间结构的多维数据；'''受控动态[[模式分解]]（Controlled DMD）'''<ref name=DMDc>J. L. Proctor, S. L. Brunton, and J. N. Kutz, Dynamic mode decomposition with control, SIAM J. Appl. Dyn. Syst., 15 (2016), pp</ref>则旨在辨识含外部输入系统的Koopman模型。DMD算法现在已经扩展出许多不同的版本，在这里只是罗列的部分情况，下文会对主流的几种方法进行更详细的介绍，其他算法请参考文献。

==[[动力学模式分解]]（DMD）==

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[[文件:未命名2.png|无|雷诺数Re=4500时方形空腔流的DMD空间模态<ref name=Schmid_2010 />|缩略图|600x600像素]]<br>

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DMD是简单地将原始状态本身视为观测函数，其计算高效、概念直观。然而，随着系统复杂度和数据维度的急剧攀升，计算成本成为瓶颈。而且很多场景需要更复杂的非线性观测才能捕捉到重要的物理结构。为此，包括扩展DMD（extended DMD，eDMD）<ref name=william_2015>M. O. Williams, I. G. Kevrekidis, and C. W. Rowley, A data-driven approximation of the Koopman operator: Extending dynamic mode decomposition, J. Nonlinear Sci., 6 (2015), pp. 1307--1346. (Cited on pp. 246, 247, 256, 284, 285, 292)</~~ref~~>、[[随机]]DMD（Randomized DMD）<ref name=ranDMD>Erichson, N. B., Mathelin, L., Kutz, J. N. & Brunton, S. L. Randomized dynamic mode decomposition. Siam J. Appl. Dyn. Syst. 18, 1867–1891 (2019)</ref>等等方法应运而生。它们有的在原始DMD的基础上，引入了更多的观测方式和[[非线性]]观测函数，从而能够处理更高维的系统。另外，诸如[[随机]]DMD，通过引入[[随机]][[投影]]、[[随机]][[采样]]等数值技术，在基本保持DMD分析精度的同时，极大地降低了大规模问题的计算与存储开销，为处理高维、实时的数据流提供了高效方案。下面将简要介绍几种主要的前沿数据驱动算法。

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DMD是简单地将原始状态本身视为观测函数，其计算高效、概念直观。然而，随着系统复杂度和数据维度的急剧攀升，计算成本成为瓶颈。而且很多场景需要更复杂的非线性观测才能捕捉到重要的物理结构。为此，包括扩展DMD（extended DMD，eDMD）<ref name=william_2015 />、[[随机]]DMD（Randomized DMD）<ref name=ranDMD>Erichson, N. B., Mathelin, L., Kutz, J. N. & Brunton, S. L. Randomized dynamic mode decomposition. Siam J. Appl. Dyn. Syst. 18, 1867–1891 (2019)</ref>等等方法应运而生。它们有的在原始DMD的基础上，引入了更多的观测方式和[[非线性]]观测函数，从而能够处理更高维的系统。另外，诸如[[随机]]DMD，通过引入[[随机]][[投影]]、[[随机]][[采样]]等数值技术，在基本保持DMD分析精度的同时，极大地降低了大规模问题的计算与存储开销，为处理高维、实时的数据流提供了高效方案。下面将简要介绍几种主要的前沿数据驱动算法。

==扩展DMD==

Matthew

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