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在[[算子]]理论与[[动力系统]]研究中，Koopman[[算子]]的[[奇异值分解]]（Singular Value Decomposition， [[SVD]]）是将有限维矩阵的[[SVD]]推广至无穷维[[算子]]空间的一种[[数学]]工具。与侧重于系统演化[[频率]]及增长率的[[特征值分解]]（Eigenvalue Decomposition）不同，[[奇异值分解]]主要用于分析[[算子]]在能量范数下的增益特性以及观测空间的结构。
=算子奇异值的定义=
=算子奇异值的定义=
根据[[算子]]理论，一个[[算子]] <math>\mathcal{K}</math> 的[[奇异值]] <math>\sigma</math> 定义为正定自伴随[[算子]] <math>\mathcal{K}^*\mathcal{K}</math> [[特征值]]的算术平方根。
==离散时间情形==
==[[离散时间]]情形==
设 <math>\mathcal{K}</math> 是作用在希尔伯特空间 <math>\mathcal{H}</math> 上的 Koopman 算子，<math>\mathcal{K}^*</math> 是其伴随算子（在动力系统背景下通常为 Perron-Frobenius 算子 <ref name=lasota_1994>Lasota, A., & Mackey, M. C. (1994). Chaos, Fractals, and Noise: Stochastic Aspects of Dynamics. Springer Science & Business Media.</ref>）。若标量 <math>\sigma \ge 0</math> 满足以下耦合方程，则称 <math>\sigma</math> 为 Koopman 算子的奇异值：
设 <math>\mathcal{K}</math> 是作用在[[希尔伯特空间]] <math>\mathcal{H}</math> 上的 Koopman [[算子]]，<math>\mathcal{K}^*</math> 是其伴随[[算子]]（在[[动力系统]]背景下通常为 Perron-Frobenius [[算子]] <ref name=lasota_1994>Lasota, A., & Mackey, M. C. (1994). Chaos, Fractals, and Noise: Stochastic Aspects of Dynamics. Springer Science & Business Media.</ref>）。若[[标量]] <math>\sigma \ge 0</math> 满足以下耦合方程，则称 <math>\sigma</math> 为 Koopman [[算子]]的[[奇异值]]：
<math>
<math>
</math>
</math>
其中，<math>\varphi(\mathbf{x})</math> 称为右奇异函数，<math>\psi(\mathbf{x})</math> 称为左奇异函数。等价地，<math>\sigma^2</math> 是算子 <math>\mathcal{K}^* \mathcal{K}</math> 的特征值，对应的特征函数为右奇异函数 <math>\varphi(\mathbf{x})</math>：
其中，<math>\varphi(\mathbf{x})</math> 称为右奇异函数，<math>\psi(\mathbf{x})</math> 称为左奇异函数。等价地，<math>\sigma^2</math> 是[[算子]] <math>\mathcal{K}^* \mathcal{K}</math> 的[[特征值]]，对应的[[特征函数]]为右奇异函数 <math>\varphi(\mathbf{x})</math>：
:<math>\mathcal{K}^* \mathcal{K} \varphi(\mathbf{x}) = \sigma^2 \varphi(\mathbf{x})</math>
:<math>\mathcal{K}^* \mathcal{K} \varphi(\mathbf{x}) = \sigma^2 \varphi(\mathbf{x})</math>
==连续时间情形==
==[[连续]]时间情形==
对于[[连续]]时间下的 Lie [[算子]] <math>\mathcal{L}</math>，[[奇异值]]通常通过其生成的演化[[算子]]族 <math>\mathcal{K}_t = e^{\mathcal{L}t}</math> 来定义。若直接讨论微分[[算子]] <math>\mathcal{L}</math> 的[[奇异值]]性质，其对应的自伴随形式满足：
<math>\mathcal{L}^* \mathcal{L} \varphi(\mathbf{x}) = \sigma^2 \varphi(\mathbf{x})</math>
<math>\mathcal{L}^* \mathcal{L} \varphi(\mathbf{x}) = \sigma^2 \varphi(\mathbf{x})</math>
其中 <math>\mathcal{L}^*</math> 为其伴随算子（常对应于 Liouville 算子）。
其中 <math>\mathcal{L}^*</math> 为其伴随[[算子]]（常对应于 Liouville [[算子]]）。
=物理意义=
=物理意义=
==能量增益分析==
==能量增益分析==
[[特征值]]描述的是系统的演化[[频率]]和增长率（特征[[方向]]上的拉伸），是渐近增长；而[[奇异值]]描述的是[[算子]]在能量范数下的增益，是瞬态增长。在动态[[模式分解]]（DMD）等数据驱动方法中，对观测数据矩阵也会进行[[SVD]]<ref name=schmid_2010>Schmid, P. J. (2010). Dynamic mode decomposition of numerical and experimental data. Journal of Fluid Mechanics, 656, 5-28.</ref>。这本身不直接包含系统的演化规则（时间动态），它只是对过去状态的一种静态统计。而[[算子]]的[[奇异值]]代表了[[算子]]在特定[[方向]]上的“增益”。
==算子对偶性==
==[[算子]]对偶性==
定义中引入了 <math>\mathcal{K}^*</math>。在动力系统中，Koopman 算子与 Perron-Frobenius 算子（PF算子）互为伴随，即满足内积关系 <math>\langle \mathcal{K}g, \rho \rangle = \langle g, \mathcal{P}\rho \rangle</math>。因此，Koopman 算子的奇异值分析本质上联系了“观测函数的演化”与“概率密度的演化”这两个对偶过程。这意味着Koopman算子与PF算子的非零奇异值谱是完全一模一样的。
定义中引入了 <math>\mathcal{K}^*</math>。在[[动力系统]]中，Koopman [[算子]]与 Perron-Frobenius [[算子]]（PF[[算子]]）互为伴随，即满足[[内积]]关系 <math>\langle \mathcal{K}g, \rho \rangle = \langle g, \mathcal{P}\rho \rangle</math>。因此，Koopman [[算子]]的[[奇异值]]分析本质上联系了“观测函数的演化”与“[[概率]]密度的演化”这两个对偶过程。这意味着Koopman[[算子]]与PF[[算子]]的非零[[奇异值]]谱是完全一模一样的。
为什么是非零[[奇异值]]谱才一模一样呢？因为 Koopman[[算子]]和PF[[算子]]作用的函数空间可能存在这种“维度上的不对称”（或者说是有效作用子空间的不对称），所以我们只能保证它们的非零部分（即实际有物理意义的[[奇异值]]）是一样的。在形式上，读者可以参考非方形矩阵的[[SVD]]。
==酉算子==
==[[酉算子]]==
若系统是保[[测度]]的（如[[哈密顿系统]]），Koopman [[算子]] <math>\mathcal{K}</math> 是[[酉算子]]（Unitary），此时其所有的[[奇异值]] <math>\sigma = 1</math>。
=与K矩阵SVD的关系=
=与K矩阵[[SVD]]的关系=
在 EDMD（Extended Dynamic Mode Decomposition）框架下，我们将无限维的 Koopman 算子 <math>\mathcal{K}</math> 投影到了由一组观测函数<math>\boldsymbol{g}(\mathbf{x}) = [g_1(\mathbf{x}), \dots, g_N(\mathbf{x})]^T</math> 张成的有限维子空间 <math>\mathcal{V}</math> 中。
在 EDMD（Extended Dynamic Mode Decomposition）框架下，我们将[[无限]]维的 Koopman [[算子]] <math>\mathcal{K}</math> [[投影]]到了由一组观测函数<math>\boldsymbol{g}(\mathbf{x}) = [g_1(\mathbf{x}), \dots, g_N(\mathbf{x})]^T</math> 张成的有限维子空间 <math>\mathcal{V}</math> 中。
==Gram矩阵==
==Gram矩阵==
在[[希尔伯特空间]] <math>\mathcal{H}</math> 中，子空间 <math>\mathcal{V}</math> 的度量由Gram 矩阵 <math>\mathbf{G}</math>决定：
<math>\mathbf{G}_{ij} = \langle g_j, \theta_i \rangle_{\mathcal{H}} \approx \frac{1}{M} \sum_{m=1}^M g_j(\mathbf{x}_m) \overline{g_i(\mathbf{x}_m)}</math>
<math>\mathbf{G}_{ij} = \langle g_j, \theta_i \rangle_{\mathcal{H}} \approx \frac{1}{M} \sum_{m=1}^M g_j(\mathbf{x}_m) \overline{g_i(\mathbf{x}_m)}</math>
==一般情形==
==一般情形==
直接对 EDMD 估计出的矩阵 <math>\mathbf{K}</math> 做 SVD 得到的奇异值 <math>\sigma(\mathbf{K})</math>，通常不等于算子的奇异值 <math>\sigma(\mathcal{K})</math>。
直接对 EDMD 估计出的矩阵 <math>\mathbf{K}</math> 做 [[SVD]] 得到的[[奇异值]] <math>\sigma(\mathbf{K})</math>，通常不等于[[算子]]的[[奇异值]] <math>\sigma(\mathcal{K})</math>。
它们的严格关系如下（假设 <math>\mathbf{K}</math> 定义为 <math>\mathcal{K} \boldsymbol{g} \approx \mathbf{K} \boldsymbol{\theta}</math>）：
它们的严格关系如下（假设 <math>\mathbf{K}</math> 定义为 <math>\mathcal{K} \boldsymbol{g} \approx \mathbf{K} \boldsymbol{\theta}</math>）：
(1) 当观测函数是标准正交基时 (<math>\mathbf{G} = \mathbf{I}</math>)：此时算子的奇异值等于矩阵 <math>\mathbf{K}</math> 的奇异值。
(1) 当观测函数是[[标准正交基]]时 (<math>\mathbf{G} = \mathbf{I}</math>)：此时[[算子]]的[[奇异值]]等于矩阵 <math>\mathbf{K}</math> 的[[奇异值]]。
:<math>\sigma(\mathcal{K}) = \sigma(\mathbf{K})</math>
:<math>\sigma(\mathcal{K}) = \sigma(\mathbf{K})</math>
(2) 当观测函数不是正交基时（通用情形）：我们需要考虑 Gram 矩阵 <math>\mathbf{G}</math> 的贡献：
(2) 当观测函数不是[[正交基]]时（通用情形）：我们需要考虑 Gram 矩阵 <math>\mathbf{G}</math> 的贡献：
:<math>\sigma(\mathcal{K}) = \text{SingularValues}\left( \mathbf{G}^{1/2} \mathbf{K} \mathbf{G}^{-1/2} \right)</math>
:<math>\sigma(\mathcal{K}) = \sigma \left( \mathbf{G}^{1/2} \mathbf{K} \mathbf{G}^{-1/2} \right)</math>
<math>\mathbf{G}^{-1/2}</math> 的作用是将非正交基坐标变换到等效的正交基空间，在该空间下，矩阵的奇异值才能真实反映算子对能量（范数）的拉伸。
<math>\mathbf{G}^{-1/2}</math> 的作用是将非[[正交基]]坐标变换到等效的[[正交基]]空间，在该空间下，矩阵的[[奇异值]]才能真实反映[[算子]]对能量（范数）的拉伸。
==奇异向量的关系==
==奇异[[向量]]的关系==
矩阵 <math>\mathbf{K}</math> 的右奇异向量 <math>\mathbf{v}_{mat}</math> 对应的是算子在特定坐标表示下的极值方向。算子的右奇异函数系数 <math>\mathbf{v}</math> 满足 <math>\mathbf{v} = \mathbf{G}^{-1/2} \mathbf{v}_{weighted}</math>，其中 <math>\mathbf{v}_{weighted}</math> 是矩阵 <math>\mathbf{G}^{1/2} \mathbf{K} \mathbf{G}^{-1/2}</math> 的右奇异向量。
矩阵 <math>\mathbf{K}</math> 的右奇异[[向量]] <math>\mathbf{v}_{mat}</math> 对应的是[[算子]]在特定坐标表示下的极值[[方向]]。[[算子]]的右奇异函数系数 <math>\mathbf{v}</math> 满足 <math>\mathbf{v} = \mathbf{G}^{-1/2} \mathbf{v}_{weighted}</math>，其中 <math>\mathbf{v}_{weighted}</math> 是矩阵 <math>\mathbf{G}^{1/2} \mathbf{K} \mathbf{G}^{-1/2}</math> 的右奇异[[向量]]。
=参考文献=
=参考文献=
<references />
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