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==能量增益分析==

==能量增益分析==

[[特征值]]描述的是系统的演化[[频率]]和增长率（特征[[方向]]上的拉伸），是渐近增长；而[[奇异值]]描述的是[[算子]]在能量范数下的增益，是瞬态增长。在动态[[模式分解]]（DMD）等数据驱动方法中，对观测数据矩阵也会进行[[SVD]]<ref name=schmid_2010>Schmid, P. J. (2010). Dynamic mode decomposition of numerical and experimental data. Journal of Fluid Mechanics, 656, 5-28.</ref>。这本身不直接包含系统的演化规则（时间动态），它只是对过去状态的一种静态统计。而[[算子]]的[[奇异值]]代表了[[算子]]在特定[[方向]]上的“增益”。

[[特征值]]描述的是系统的演化[[频率]]和增长率（特征[[方向]]上的拉伸），是渐近增长；而[[奇异值]]描述的是[[算子]]在能量范数下的增益，是瞬态增长<ref name=trefethen_2005>Trefethen, L.N. and Embree, M. (2005) Spectra and Pseudospectra: The Behavior of Nonnormal Matrices and Operators. Princeton University Press.</ref><ref name=schmid_2007>Schmid, P. J. (2007). Nonmodal stability theory. Annual Review of Fluid Mechanics, 39, 129-162.</ref>。在动态[[模式分解]]（DMD）等数据驱动方法中，对观测数据矩阵也会进行[[SVD]]<ref name=schmid_2010>Schmid, P. J. (2010). Dynamic mode decomposition of numerical and experimental data. Journal of Fluid Mechanics, 656, 5-28.</ref>。这本身不直接包含系统的演化规则（时间动态），它只是对过去状态的一种静态统计。而[[算子]]的[[奇异值]]代表了[[算子]]在特定[[方向]]上的“增益”。

==[[算子]]对偶性==

==[[算子]]对偶性==