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→标准型和性质
* 其中<math>x \in \mathcal{R}</math>是状态变量，<math>r \in \mathcal{R}</math>为诱导分岔产生的外部参数。
* 其中<math>x \in \mathcal{R}</math>是状态变量，<math>r \in \mathcal{R}</math>为诱导分岔产生的外部参数。
* 对于实际研究中的更复杂的系统，如<math>\dot{x} = r - x^2 - e^x</math>，<math>x</math>的取值范围为应为[[不动点]](<math>x=x^*</math>)的邻域，即<math>-\varepsilon <x-x^*<\varepsilon </math>(其中<math>\forall \varepsilon<0</math>)，<math>r</math>的取值范围应为[[临界点]]<math>r-r_c</math>的邻域，即<math>-\delta <r<\delta </math>(其中<math>\forall \delta<0</math>)，否则无法忽略高阶项。
* 对于实际研究中的更复杂的系统，如<math>\dot{x} = r - x^2 - e^x</math>，为了将原系统简化为标准型（即忽略高阶项 <math>O(|x|^3, |x|r, r^2)</math> 的影响），状态变量 <math>x</math> 和参数 <math>r</math> 必须限制在局部范围内：
** <math>x</math> 的取值范围应为平衡点 <math>x^*</math> 的 <math>\varepsilon</math>-邻域：<math>x \in (x^* - \varepsilon, x^* + \varepsilon)</math>，其中 <math>\varepsilon > 0</math> 且充分小。
** <math>r</math> 的取值范围应为临界值 <math>r_c</math> 的 <math>\delta</math>-邻域：<math>r \in (r_c - \delta, r_c + \delta)</math>，其中 <math>\delta > 0</math> 且充分小。
只有在此微小邻域内，泰勒展开截断后的低阶项才能主导系统的定性行为。
鞍结点分岔的关键性质在于，随着系统参数<math>r</math>的改变，[[相空间]]中原本存在的两个[[不动点]]（一个稳定，一个不稳定）相互靠近、碰撞并最终相互抵消而消失，导致系统原本的[[稳定状态]]不复存在。也可反过来看待，原本状态不稳定的系统因系统参数<math>r</math>的改变，使其先出现了一个半稳定不动点，最终出现了两个[[不动点]]（一个稳定，一个不稳定）。
鞍结点分岔的关键性质在于，随着系统参数<math>r</math>的改变，[[相空间]]中原本存在的两个[[不动点]]（一个稳定，一个不稳定）相互靠近、碰撞并最终相互抵消而消失，导致系统原本的[[稳定状态]]不复存在。也可反过来看待，原本状态不稳定的系统因系统参数<math>r</math>的改变，使其先出现了一个半稳定不动点，最终出现了两个[[不动点]]（一个稳定，一个不稳定）。