更改

* 对于实际研究中的更复杂的系统，如<math>\dot{x} = r - x^2 - e^x</math>，为了将原系统简化为标准型（即忽略高阶项（如 <math>O(x^3, r^2)</math> 等）的影响），状态变量 <math>x</math> 和参数 <math>r</math> 必须限制在局部范围内：

* 对于实际研究中的更复杂的系统，如<math>\dot{x} = r - x^2 - e^x</math>，为了将原系统简化为标准型（即忽略高阶项（如 <math>O(x^3, r^2)</math> 等）的影响），状态变量 <math>x</math> 和参数 <math>r</math> 必须限制在局部范围内：

** <math>x</math> 的取值范围应为平衡点 <math>x^*</math> 的 <math>\varepsilon</math>-邻域：<math>x \in (x^* - \varepsilon, x^* + \varepsilon)</math>，其中 <math>\varepsilon > 0</math> 且充分小。

** <math>x</math> 的取值范围应为[[不动点]] <math>x^*</math> 的 <math>\varepsilon</math>-邻域：<math>x \in (x^* - \varepsilon, x^* + \varepsilon)</math>，其中 <math>\varepsilon > 0</math> 且充分小。

** <math>r</math> 的取值范围应为临界值 <math>r_c</math> 的 <math>\delta</math>-邻域：<math>r \in (r_c - \delta, r_c + \delta)</math>，其中 <math>\delta > 0</math> 且充分小。

** <math>r</math> 的取值范围应为临界值 <math>r_c</math> 的 <math>\delta</math>-邻域：<math>r \in (r_c - \delta, r_c + \delta)</math>，其中 <math>\delta > 0</math> 且充分小。

鞍结点分岔的关键性质在于，随着系统参数<math>r</math>的改变，[[相空间]]中原本存在的两个[[不动点]]（一个稳定，一个不稳定）相互靠近、碰撞并最终相互抵消而消失，导致系统原本的[[稳定状态]]不复存在。也可反过来看待，原本状态不稳定的系统因系统参数<math>r</math>的改变，使其先出现了一个半稳定不动点，最终出现了两个[[不动点]]（一个稳定，一个不稳定）。

鞍结点分岔的关键性质在于，随着系统参数<math>r</math>的改变，[[相空间]]中原本存在的两个[[不动点]]（一个稳定，一个不稳定）相互靠近、碰撞并最终相互抵消而消失，导致系统原本的[[稳定状态]]不复存在。也可反过来看待，原本状态不稳定的系统因系统参数<math>r</math>的改变，使其先出现了一个半稳定不动点，最终出现了两个[[不动点]]（一个稳定，一个不稳定）。

可以看作是一阶参数与二阶自变量的线性组合。

可以看作是一阶参数与二阶自变量的线性组合。

===推导过程===

===推导过程===

将<math>\dot x=f</math>视为关于<math>x</math>与<math>r</math>的函数<math>f(x,r)</math>，对<math>x</math>，<math>r</math>在<math>x^*</math>与<math>r_c</math>处分别进行[[泰勒展开]]得到（其中<math>r_c</math>是[[临界状态]]时的<math>r</math>值）

将<math>\dot x=f</math>视为关于<math>x</math>与<math>r</math>的函数<math>f(x,r)</math>，对<math>x</math>，<math>r</math>在<math>x^*</math>与<math>r_c</math>处分别进行泰勒展开得到（其中<math>r_c</math>是[[临界状态]]时的<math>r</math>值）

{{NumBlk|:|

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<math display="block">

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