更改

* 其中<math>x \in \mathcal{R}</math>是状态变量，<math>r \in \mathcal{R}</math>为诱导分岔产生的外部参数。

* 其中<math>x \in \mathcal{R}</math>是状态变量，<math>r \in \mathcal{R}</math>为诱导分岔产生的外部参数。

* 对于实际研究中的更复杂的系统，如<math>\dot{x} = r - x^2 - e^x</math>，为了将原系统简化为标准型（即忽略高阶项（如 <math>O(x^3, r^2)</math> 等）的影响），状态变量 <math>x</math> 和参数 <math>r</math> 必须限制在局部范围内：

* 对于实际研究中的更复杂的系统，如<math>\dot{x} = r - x - e^x</math>，为了将原系统简化为标准型（即忽略高阶项（如 <math>O(x^3, r^2)</math> 等）的影响），状态变量 <math>x</math> 和参数 <math>r</math> 必须限制在局部范围内：

** <math>x</math> 的取值范围应为[[不动点]] <math>x^*</math> 的 <math>\varepsilon</math>-邻域：<math>x \in (x^* - \varepsilon, x^* + \varepsilon)</math>，其中 <math>\varepsilon > 0</math> 且充分小。

** <math>x</math> 的取值范围应为[[不动点]] <math>x^*</math> 的 <math>\varepsilon</math>-邻域：<math>x \in (x^* - \varepsilon, x^* + \varepsilon)</math>，其中 <math>\varepsilon > 0</math> 且充分小。

** <math>r</math> 的取值范围应为临界值 <math>r_c</math> 的 <math>\delta</math>-邻域：<math>r \in (r_c - \delta, r_c + \delta)</math>，其中 <math>\delta > 0</math> 且充分小。

** <math>r</math> 的取值范围应为临界值 <math>r_c</math> 的 <math>\delta</math>-邻域：<math>r \in (r_c - \delta, r_c + \delta)</math>，其中 <math>\delta > 0</math> 且充分小。

===例子===

===例子===

以<math>\dot{x} = r - x^2 - e^x</math>为例

以<math>\dot{x} = r - x - e^x</math>为例

令<math>\dot x = 0</math>，有<math>r-x^2=e^x</math>，两曲线相切的点即为我们需要的不动点<math>x^*=0</math>，临界点<math>r_c = 1</math>

令<math>\dot x = 0</math>，有<math>r-x=e^x</math>，两曲线相切的点即为我们需要的不动点<math>x^*=0</math>，临界点<math>r_c = 1</math>

=案例：云杉蚜虫爆发模型=

=案例：云杉蚜虫爆发模型=