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[[相图]]如下，展示了系统参数<math>r</math>在不同取值下的鞍结点[[分岔]]的三种不同状态，横坐标为<math>x</math>，纵坐标为<math>\dot{x}</math>。实心点为稳定[[不动点]]，空心点为不稳定[[不动点]]，半空心点为[[临界]]半稳定不动点，箭头为演化方向。
[[相图]]如下，展示了系统参数<math>r</math>在不同取值下的鞍结点[[分岔]]的三种不同状态，横坐标为<math>x</math>，纵坐标为<math>\dot{x}</math>。实心点为稳定[[不动点]]，空心点为不稳定[[不动点]]，半空心点为[[临界]]半稳定不动点，箭头为演化方向。
[[File:Phase Portrait for Saddle-Node Bifurcation 2.png|800px|]]
[[File:相图：鞍结点分岔标准型1.png|600px]]
[[分岔]]图如下，展示了系统参数<math>r</math>在不同取值下的[[不动点]]的分布情况，曲线上每个点都是不动点。实线代表稳定不动点，虚线代表不稳定不动点。
[[分岔]]图如下，展示了系统参数<math>r</math>在不同取值下的[[不动点]]的分布情况，曲线上每个点都是不动点。实线代表稳定不动点，虚线代表不稳定不动点。
[[File:Saddle-Node Bifurcation Diagram 02.png|600px]]
[[File:分岔图：鞍结点分岔标准型1.png|600px]]
* 对于<math display="block">
* 对于<math display="block">
</math>
</math>
情况类似，只是方向发生了调转。
情况类似，只是方向发生了调转。
[[File:相图：鞍结点分岔标准型2.png|600px]]
[[File:Phase Portrait for Saddle-Node Bifurcation 1.png|800px]]
[[分岔]]图如下。
[[分岔]]图如下。
[[File:分岔图：鞍节点分岔标准型2.png|600px]]
==推广形式==
==推广形式==
* 右侧<math>y_2(x) = \frac{x}{1+x^2} </math>从原点出发，先上升后下降，呈单峰状，与参数<math>r</math>，<math>k</math>无关。
* 右侧<math>y_2(x) = \frac{x}{1+x^2} </math>从原点出发，先上升后下降，呈单峰状，与参数<math>r</math>，<math>k</math>无关。
[[File:Saddle Node case geometric-analyse.png|800px]]
[[File:不动点分析：云杉蚜虫爆发模型.png|800px]]
因<math>k</math>是一个慢变量，所以将其视为一个常数（上图中<math>k=10</math>），将<math>r</math>（上图纵坐标）视为主要控制参数。
因<math>k</math>是一个慢变量，所以将其视为一个常数（上图中<math>k=10</math>），将<math>r</math>（上图纵坐标）视为主要控制参数。
[[相图]]如下
[[相图]]如下
[[File:Saddle Node case phase portrait.png|800px]]
[[File:相图：云杉蚜虫爆发模型.png|800px]]
=二维系统（以上）=
=二维系统（以上）=