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→案例：云杉蚜虫爆发模型
因<math>k</math>是一个慢变量，所以将其视为一个常数（上图中<math>k=10</math>），将<math>r</math>（上图纵坐标）视为主要控制参数。
因<math>k</math>是一个慢变量，所以将其视为一个常数（上图中<math>k=10</math>），将<math>r</math>（上图纵坐标）视为主要控制参数。
* 当<math>r</math>很小时，可看到两条曲线仅有一个交点，且为一个稳定[[不动点]]。此时蚜虫种群保持低数量范围。
* 当<math>r</math>很小时，可看到两条曲线仅有一个交点，且为一个稳定[[不动点]]。
* 令<math>r</math>逐渐增大到某个[[临界]]值<math>r_1</math>时，<math>y_1(x)</math>与<math>y_2(x)</math>的下降段相切，出现了一个半[[稳定不动点]]。
* 令<math>r</math>逐渐增大到某个[[临界]]值<math>r_1</math>时，<math>y_1(x)</math>与<math>y_2(x)</math>的下降段相切，出现了一个半[[稳定不动点]]。
* 继续增大<math>r</math>，<math>y_1(x)</math>与<math>y_2(x)</math>的下降段出现了两个[[不动点]]（一个不稳定，一个稳定）。系统将偏移至右侧的稳定不动点，此时蚜虫种群保持高数量水平。
* 继续增大<math>r</math>，<math>y_1(x)</math>与<math>y_2(x)</math>的下降段出现了两个[[不动点]]（一个不稳定，一个稳定）。系统将偏移至右侧的稳定不动点。
此时这块下降段区域的变化就是鞍结点[[分岔]]。
此时这块下降段区域的变化就是鞍结点[[分岔]]。
[[File:相图：云杉蚜虫爆发模型.png|800px]]
[[File:相图：云杉蚜虫爆发模型.png|800px]]
[[分岔图]]如下
[[分岔图]]如下。
[[File:分岔图：云杉蚜虫爆发模型.png|800px]]
[[File:分岔图：云杉蚜虫爆发模型.png|800px]]
==物理意义==
==物理意义==
上面的分岔图描述了当外部环境条件（参数<math>r</math>）发生缓慢且连续的变化时，系统的最终归宿（平衡点的位置和数量）会发生怎样的改变。
* 当参数<math>r</math>在较小数值范围内变动时(如从<math>0.2</math>到<math>0.3</math>)，环境的改变只引起系统状态的微小调整。比如气温稍微升高，蚜虫数量只是略微增加，依然维持在一个低数量的稳定态。
=二维系统（以上）=
=二维系统（以上）=