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[[File:Limit cycle Poincare map.svg|thumb|250px|right|'''稳定极限环'''和另外两个螺旋进入它的轨迹 ]]

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[[Image:VanDerPolPhaseSpace.png|right|250px|thumb|'''<font color="#ff8000">范德波尔振荡器 Van der Pol oscillator</font>'''的稳定极限环 ]]

[[Image:VanDerPolPhaseSpace.png|right|250px|thumb|'''<font color="#ff8000">范德波尔振荡器 Van der Pol oscillator</font>'''的稳定极限环 ]]

在数学中，二维'''<font color="#ff8000">相空间 phase space</font>''' 动力系统的研究中，'''极限环'''是一个在相空间中的闭合轨迹，它具有当时间趋于无穷大或时间趋于负无穷大时至少有一条其他轨迹螺旋进入的性质。这种行为在一些非线性系统中表现出来。极限环已经被用来模拟许多实际振动系统的行为。对极限环的研究是由'''<font color="#ff8000">亨利·庞加莱 Henri poincaré</font>'''提出的。

极限环（Limit Cycle）是非线性动力系统中的重要概念，用于描述系统在长期演化过程中所呈现的周期性行为。当系统的轨道不收敛于平衡点，而是趋于一条闭合曲线时，即形成周期运动。在本文中，主要讨论二维自治系统（二维相空间）中的极限环。在这一情形下，极限环可以理解为相平面中的一条孤立闭轨道，即在该闭轨道的邻域内不存在其他周期轨道。该概念最早由 Henri Poincaré 提出，是微分方程定性理论的重要组成部分，并在分析二维系统的长期行为中具有核心作用。后续内容将基于二维相空间的框架，介绍极限环的定义、性质及其判定方法以及相关应用。

 

==定义==

==定义==