更改

=== 不动点及其稳定性 ===

=== 不动点及其稳定性 ===

以<math display="block">

需要通过计算系统的雅可比矩阵（在一维情况下即为一阶导数）来判断局部稳定性，因此有<math>f'(x^*)=-2x^*</math>。

\dot{x} = rx- x^2

</math> 为例

令<math>f(x)=rx-x^2=0</math>，当<math>r<0</math>时，有两个[[不动点]]；当<math>r=0</math>时，有一个[[不动点]]；当<math>r>0</math>时，有两个[[不动点]]。

要判断不动点的稳定性，可以通过计算不动点的一阶导数。这里就是<math>f'(x^*)=r-2x^*</math>。

<math>f'(x^*)=r-2x^*</math>。当<math>r>0</math>时，<math>x^*=\sqrt{r}</math>，有<math>f'(x^*)<0</math>，是稳定[[不动点]]；<math>x^*=-\sqrt{r}</math>，有<math>f'(x^*)>0</math>，是不稳定[[不动点]]。<math>r=0</math>为[[分岔]]点，有<math>f'(x^*)=0</math>

* 不动点<math>x^*=0</math>，有<math>f'(x^*)=0-2*0=0</math>，是稳定不动点。

* 不动点<math>x^*=r</math>，有<math>f'(x^*)=r-2r=-r>0</math>，微小扰动会放大，是不稳定不动点；

 

当 <math>r=0</math>，有<math>f'(x^*)=0</math>，此处为[[分岔]]点。

 

* 不动点<math>x^*=0</math>，有<math>f'(x^*)=0-2*0=0</math>，是不稳定不动点。

* 不动点<math>x^*=r</math>，有<math>f'(x^*)=r-2r=-r<0</math>，微小扰动会衰减，是稳定不动点；

===[[相图]]与[[分岔]]图===

===[[相图]]与[[分岔]]图===