152
个编辑
更改
跳到导航
跳到搜索
第7行：
第7行： − + − − 我们考虑一个二维动力系统，其形式为： + − − + − + − + − 极限环（limit cycle）定义为满足以下性质的闭轨道：该闭轨道是某一其他轨道的极限集，即存在一条不同于该闭轨道的轨道，其在 <math>t \to +\infty</math> 或 <math>t \to -\infty</math> 时趋于该闭轨道。<ref name="Perko" /><ref name="Devaney">Devaney, R. (1989). ''An Introduction to Chaotic Dynamical Systems''. CRC Press.</ref>+ − 在二维系统中，上述定义等价于将极限环视为孤立的周期轨道。 − − === 几何解释 === − − 在二维相平面中，系统的轨道对应于解 <math>x(t)</math> 在 <math>\mathbb{R}^2</math> 中的路径，而闭轨道表现为封闭曲线。极限环是一类特殊的闭轨道，其区别在于它可以作为其他轨道的极限行为。<ref name="Strogatz" /> − − 从几何上看，若存在一条轨道，其在时间演化过程中逐渐逼近某一闭曲线，并在极限意义下趋于该闭轨道，则该闭曲线称为极限环。此时，该闭轨道构成该轨道的 <math>\omega</math>-极限集或 <math>\alpha</math>-极限集。<ref name="Perko" /> − − 根据邻近轨道的渐近行为，极限环可以表现为吸引型或排斥型结构：在稳定情形下，邻近轨道在 <math>t \to +\infty</math> 时趋于该闭轨道；而在不稳定情形下，邻近轨道则远离该闭轨道。<ref name="Strogatz" /> − − 此外，由平面拓扑性质，任意闭轨道将相平面划分为内部与外部区域。极限环通常围绕一个或多个平衡点，并在二维动力系统的长期行为分析中起重要作用。<ref name="Devaney" />
→定义
== 定义 ==
== 定义 ==
=== 形式化定义 ===
在研究二维相空间的动力系统时，极限环（limit cycle）通常定义为满足特定性质的闭轨道：该闭轨道是某一其他轨道的极限集，即至少存在另一条轨道，其在 <math>t \to +\infty</math> 或 <math>t \to -\infty</math> 时以螺旋方式趋近于该轨道。<ref name="Perko" /><ref name="Devaney">Devaney, R. (1989). ''An Introduction to Chaotic Dynamical Systems''. CRC Press.</ref>
为更精确地描述这一概念，考虑一个二维动力系统
: <math>x'(t) = V(x(t))</math>
: <math>x'(t) = V(x(t))</math>
其中 <math>V : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2</math> 为光滑向量场。<ref name="Strogatz">Strogatz, S. H. (1994). ''Nonlinear Dynamics and Chaos''. Westview Press.</ref>
其中 <math>V : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2</math> 为光滑向量场。<ref name="Strogatz">Strogatz, S. H. (1994). ''Nonlinear Dynamics and Chaos''. Westview Press.</ref>
该系统的一条轨道（trajectory）是满足上述微分方程的光滑函数 <math>x(t)</math>，其取值在 <math>\mathbb{R}^2</math> 中。轨道在相空间中的像称为其轨道（orbit），是 <math>\mathbb{R}^2</math> 的一个子集。<ref name="Perko">Perko, L. (2001). ''Differential Equations and Dynamical Systems''. Springer.</ref>
该系统的一条轨道（trajectory）是满足上述微分方程的光滑函数 <math>x(t)</math>，其取值于 <math>\mathbb{R}^2</math>；而该函数在相空间中的像称为其轨道（orbit），即 <math>\mathbb{R}^2</math> 的一个子集。<ref name="Perko">Perko, L. (2001). ''Differential Equations and Dynamical Systems''. Springer.</ref>
如果一条轨道不是常数解，并且存在 <math>T>0</math>，使得
如果一条轨道不是常数解，并且存在 <math>T>0</math> 使得
<math>x(t+T)=x(t)</math> 对于所有 <math>t \in \mathbb{R}</math> 成立，则称该轨道为周期轨道，其对应的轨道称为闭轨道（closed orbit）或循环（cycle）。<ref name="Strogatz" />
<math>x(t+T)=x(t)</math> 对所有 <math>t \in \mathbb{R}</math> 成立，则称该轨道为周期轨道（periodic trajectory），其在相空间中的像称为闭轨道（closed orbit）或循环（cycle）。<ref name="Strogatz" />
在二维系统中，极限环可以看作是一类孤立的周期轨道，即其附近不存在其他周期轨道。
[[File:Limit cycle Poincare map.svg|thumb|250px|right|'''稳定极限环'''和另外两个螺旋进入它的轨迹 ]]
[[File:Limit cycle Poincare map.svg|thumb|250px|right|'''稳定极限环'''和另外两个螺旋进入它的轨迹 ]]
== 性质 ==
== 性质 ==