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将连续系统的计算、八节点网络算例、不同网络结构的 Φ 值、Φ 值最大化结构调整到第四章节计算案例
信息整合度 <math>\Phi</math> 的计算过程如下：首先，将[[复杂网络]]抽象为由[[大脑]]构成的[[因果]]网络，其中[[节点]]对应[[神经元]]，[[连边]]表示神经元之间的[[突触]]连接；其次，将[[连边]]理解为节点之间的因果作用，其强度由[[有效信息]]刻画；最后，系统的信息整合程度定义为其在最优二分划分下的最小因果连接强度，即各子网络之间因果瓶颈处的[[有效信息]]。具有最大整合信息的子网络，被认为是[[意识]]发生的区域。
信息整合度 <math>\Phi</math> 的计算过程如下：首先，将[[复杂网络]]抽象为由[[大脑]]构成的[[因果]]网络，其中[[节点]]对应[[神经元]]，[[连边]]表示神经元之间的[[突触]]连接；其次，将[[连边]]理解为节点之间的因果作用，其强度由[[有效信息]]刻画；最后，系统的信息整合程度定义为其在最优二分划分下的最小因果连接强度，即各子网络之间因果瓶颈处的[[有效信息]]。具有最大整合信息的子网络，被认为是[[意识]]发生的区域。
== [[有效信息]] ==
== [[有效信息]] ==
其中，S表示待分析的子系统，MIB(S)代表最小信息的二分切割（即在所有对S的二划分中找到能够让两个子网络间[[有效信息]]最小的那个划分），[[EI]]即[[有效信息]]（[[Effective Information]]）。该指标通过计算系统“在最小信息二分切割下[[可交换的]][[有效信息]]量”，来衡量系统的信息整合能力，<math>\phi</math>值越高，表示系统越能作为一个整体进行信息整合，而非仅仅是独立部分的[[集合]]<ref name="tononi_2004">{{cite journal|author1=Tononi G|title=An information integration theory of consciousness|journal=BMC Neuroscience|year=2004|volume=5|issue=1|page=42|url=https://doi.org/10.1186/1471-2202-5-42}}</ref>。
其中，S表示待分析的子系统，MIB(S)代表最小信息的二分切割（即在所有对S的二划分中找到能够让两个子网络间[[有效信息]]最小的那个划分），[[EI]]即[[有效信息]]（[[Effective Information]]）。该指标通过计算系统“在最小信息二分切割下[[可交换的]][[有效信息]]量”，来衡量系统的信息整合能力，<math>\phi</math>值越高，表示系统越能作为一个整体进行信息整合，而非仅仅是独立部分的[[集合]]<ref name="tononi_2004">{{cite journal|author1=Tononi G|title=An information integration theory of consciousness|journal=BMC Neuroscience|year=2004|volume=5|issue=1|page=42|url=https://doi.org/10.1186/1471-2202-5-42}}</ref>。
==== Φ 值大小的影响因素 ====
==== Φ 值大小的影响因素 ====
同时，该复合体的[[整合信息]]量<math>\phi</math>也是整个系统的[[整合信息]]量<math>\Phi</math>。
同时，该复合体的[[整合信息]]量<math>\phi</math>也是整个系统的[[整合信息]]量<math>\Phi</math>。
== 意识的“质” ==
== 意识的“质” ==
*系统B（链式结构）：元素1连接至2，2连接至3，3连接至4。
*系统B（链式结构）：元素1连接至2，2连接至3，3连接至4。
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[[文件:Effective information matrix and activity states for two complexes having the same value of Φ.png|无|缩略图|600x600像素|图5''对于具有相同Φ值的两个复合物，有效的信息矩阵和活动状态'']]
[[文件:Effective information matrix and activity states for two complexes having the same value of Φ.png|无|缩略图|600x600像素|图2''对于具有相同Φ值的两个复合物，有效的信息矩阵和活动状态'']]
具有相同Φ值的两个复合物的有效信息矩阵和活动状态如图2所示。图2a.因果相互作用图和复合物分析，图2a.中展示了两个系统，一个具有“发散”结构（左），另一个具有“链”结构（右）。复合物分析表明，两者都包含一个由四个元素组成的复合物，其Φ值为10。
图2b.为有效信息矩阵，其中展示了上述两个复合物的有效信息矩阵。对于每个复合物，所有二分均通过在上行列出一个部分（子集 A）和在下行列出互补部分（子集 B）来表示。中间是每个二分中从 A 到 B 和从 B 到 A 的有效信息值，颜色编码为黑色（零）、红色（中间值）和黄色（高值）。
图2c.是状态图，图中展示了两个复合体的五个代表性状态。每个状态由每个复合体中四个元素的激活状态表示，这些元素排列成一列（蓝色：激活元素；黑色：非激活元素）。
这五个状态可以被认为是由于系统的内在动力学或环境输入而随时间演变的。尽管两个复合体的状态相同，但由于有效信息矩阵的差异，它们的含义也不同。最后四列代表四个特殊状态，对应于每次只激活一个元素的状态。如果能够达到这些状态，它们将最接近于该复合体中特定元素所贡献的特定“感觉”。<br>
这五个状态可以被认为是由于系统的内在动力学或环境输入而随时间演变的。尽管两个复合体的状态相同，但由于有效信息矩阵的差异，它们的含义也不同。最后四列代表四个特殊状态，对应于每次只激活一个元素的状态。如果能够达到这些状态，它们将最接近于该复合体中特定元素所贡献的特定“感觉”。<br>
具体示例
具体示例
[[文件:An information integration theory of consciousness.png|无|缩略图|600x600像素|图6''有效信息、最小信息二分法与复合体'']]
[[文件:An information integration theory of consciousness.png|无|缩略图|600x600像素|图3''有效信息、最小信息二分法与复合体'']]
考虑一个系统X，其中包含多个元素。论文通过分析其中一个由四个元素{1,2,3,4}组成的子集S来演示（图6c）：
考虑一个系统X，其中包含多个元素。论文通过分析其中一个由四个元素{1,2,3,4}组成的子集S来演示（图3c）：
计算发现，子集{3,4}和{1,2}的Φ > 0。
计算发现，子集{3,4}和{1,2}的Φ > 0。
然而，子集{1,3}、{1,4}、{2,3}、{2,4}以及所有三个或四个元素的组合（如{1,2,3}）的Φ = 0。
然而，子集{1,3}、{1,4}、{2,3}、{2,4}以及所有三个或四个元素的组合（如{1,2,3}）的Φ = 0。
因此，{3,4}和{1,2}都是复合体。它们彼此没有重叠，且都不是对方的一部分。假设{3,4}的Φ值更高，那么它就是该系统在这一尺度下的 主复合体。
因此，{3,4}和{1,2}都是复合体。它们彼此没有重叠，且都不是对方的一部分。假设{3,4}的Φ值更高，那么它就是该系统在这一尺度下的主复合体。
==== [[连续]]系统的计算 ====
下面，为了展示<math>\phi</math>的计算，让我们考虑一个简化的[[连续]]模型，即一个线性[[动力学]]高斯[[噪声]]模型。例如，一个包含n个元素的孤立神经系统，这些元素可视为[[神经元]]组，其活动变量表示各组在数百毫秒内的放电率，彼此间的[[相互作用]]<ref name="Measuring_information_integration">{{cite journal|author1=Tononi G|author2=Boly M|author3=Massimini M|author4=Edelman D B|title=Measuring information integration|journal=PLOS Computational Biology|year=2016|volume=12|issue=3|page=e1004819|url=https://doi.org/10.1371/journal.pcbi.1004819}}</ref>，我们可以用一个[[线性化]]的[[动力学]]对其进行描述：
<math>
X_t=X_{t−1}⋅A + cR
</math>
其中，<math>R\sim\mathcal{N}(0,I)</math>为一个标准高斯噪音，c为一个常数，因此<math>cR</math>表示该[[向量]]受强度为c的独立高斯[[噪声]]R驱动，A代表X的[[邻接矩阵]]，它刻画了X中各个元素之间的联系方式。
我们仅关注该系统的内在属性，并忽略来自环境的外部输入。因此，我们计算该[[随机过程]]的熵（H）是计算[[有效信息]][[EI]]关键步骤（详细计算过程参看本词条2.1章节），其计算过程如下：
<math>
H(X) = \frac{1}{2}\ln\left[(2\pi e)^{\text{dim}(X)} \cdot |\text{COV}(X)|\right]
</math>
其中[[协方差矩阵]]A是由：
<math>
\text{COV}(X) = Q^T Q,Q =(I - A)^{-1}
</math>
计算的，这里 I为[[单位矩阵]]，A为系统的[[邻接矩阵]]。
==== 八[[节点]]网络算例 ====
如图4a所示，存在一个由8个[[节点]]构成的网络。其中，[[节点]]1、2、3和4构成紧密连接的集团，[[节点]]5、6和7构成另一个集团，8号[[节点]]作为[[信号]]源，指向所有[[节点]]。[[节点]]状态受指向自身的网络邻居状态以及[[噪声]]变量R的影响。
针对该网络，可计算每个子网络的 <math>\phi</math>值如图4b所示，各子网络的包含[[节点]]情况如图4c所示。图4b的横坐标为 <math>\phi</math>值，纵坐标是所有[[子集]]编号；图4c中，横坐标表示[[节点]]标号，纵坐标表示[[子集]]标号，深灰和浅灰格子分别代表[[因果]]瓶颈的划分情况（即深灰和浅灰各占一半划分）。
[[文件:整合信息论图1.png|无|缩略图|900x900像素|图4 一个八节点的网络构成的简单线性系统(a), 所有子集的φ值计算(b)，各个子集对应的节点元素，以及最小划分情况(c)]]
从图中可知， <math>\phi</math>值最大的子网络是由[[节点]]1、2、3、4构成的彼此互联的社团，其 <math>\phi</math>值达到21比特。紧随其后的是者四个[[节点]]中的任意三个[[节点]]构成的子网络，它们的 <math>\phi</math>值相近，仅略低于四[[节点]]的社团。再之后是[[节点]]5、6、7构成的社团，其 <math>\phi</math>值略高于20。整个网络的 <math>\phi</math>值约为 7。而网络整体的 <math>\Phi</math>应取所有子网络中的最大 <math>\phi</math>值，即由[[节点]]1-4构成的子网络的21比特。
==== 不同[[网络结构]]的 Φ 值 ====
在[[网络动力学]]（[[因果机制]]）不变的情况下，可比较不同[[网络结构]]对整体网络 <math>\Phi</math>值的影响。如图5所示，仅给出 <math>\Phi</math>值（因整个网络就是 <math>\phi</math>值最大的子网络），虚线对应[[因果]]瓶颈（[[有效信息]]最小）的划分处。图A-E均由8个[[节点]]构成，图A为单链结构，图B是单链成环结构，图C为双链结构。从A 到C，Φ 值不断增加，在双向连接时达到最大，因为此时左右两部分信息流最大，[[节点]]更易形成一个整体。图D和图E呈现中心-外围的连接模式，Φ值较小，因其网络构成过于集中化。
[[文件:整合信息论图2.png|无|缩略图|600x600像素|图5 五个不同的网络结构及其它们的φ值]]
从图5中可知，阴影部分为复形，每个组中都标出了Φ的值。图5的A-E代表不同的有向图结构:（A）有向路径、（B）单向环路、（C）双向环路、（D）扇出有向图（一对多的发散结构）、（E）扇入有向图（多对一的汇聚结构）。
==== Φ 值最大化结构 ====
固定[[节点]]数、[[动力学]]以及每个[[节点]]的[[连边]]总数，图4展示了使 <math>\Phi</math>值最大的八[[节点]][[网络结构]]。该网络连接紧密，看似随机却与随机[[连边]]网络有显著差异。其特征如下：
*[[节点]]邻居[[异质性]]强：每个[[节点]]的邻居差异大，不同[[节点]]邻居的匹配度仅0.14（相似邻居的比例），而同等规模[[随机网络]]的匹配度为0.218。
*出入平衡：几乎每个[[节点]]仅有2个输入[[连边]]和2个输出[[连边]]，这与[[随机网络]]中少数[[节点]]拥有更多连接不同。
*双向互惠连接少：该网络几乎不存在双向互惠连接（即A指向B且B也指向A），而[[随机网络]]中此类连接大量存在。此网络具有很高的整合度，<math>\Phi</math>值达60.76比特，同等规模[[随机网络]]的<math>\Phi</math>值仅35.66比特。
[[文件:整合信息论图3.png|无|缩略图|600x600像素|图6 通过搜索所有的八节点的网络结构使φ值最大得到的最优网络结构]]