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→PID框架在随机过程中的应用
=== PID框架在随机过程中的应用 ===
=== PID框架在随机过程中的应用 ===
按PID分解的对象分类，PID在用于随机过程分析时，一般分为零时滞-PID，和（转移熵）TE -PID两种分解模式。
==== PIRD ====
前者使用PID框架分解源过程和目标过程的$$I(\mathbf{X_n};Y(t_n)$$后者则分解源过程和目标过程间的$$I(Y(t_n);X(t < n)|Y(t < n))$$其分解对象的信息结构如下图所示
[[文件:ZL-PID-TE-PID.png|居中|缩略图]]
从图中可以看出，零滞后PID和TE-PID分解的互信息变量组中没有囊括源过程所有的交互作用。
具体而言，零滞后PID只能捕捉瞬时交互，完全忽略时滞效应带来的因果关联，从而无法反映过程的动态演化(如气候指数间的跨季影响）而TE-PID仅能捕捉单向因果(源到目标),无法捕捉反向因果(目标与源)和瞬时交互,导致双向动态耦合的缺失。
为了解决零时滞PID和TE-PID在分析随机过程时带来的局限，作者发展了PIRD框架,称部分信息率分解（PIRD）框架，这一框架是将传统部分信息分解（PID） 从静态随机变量系统扩展到时间相关性的随机过程系统的信息分解框架。
<nowiki>与零时滞PID和TE-PID不同，PIRD使用PID框架分解的目标是包括了源过程与目标过程间所有交互作用的互信息率（MIR）$$I_{X;Y} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}I(\mathbf{X}(t_1),\dots,\mathbf{X}(t_n);Y(t_1),\dots Y(t_n))$$替代静态互信息（MI），结合频率域谱冗余率（SMMI）$$i_{\mathbf{X}_α;Y}^{\cap}(ω)=\min_{j=1,...,J}i_{\mathbf{X_{α_j}};Y}(ω)$$ 实现动态信息的独特、冗余、协同贡献分解。</nowiki>
为了解决高维系统中冗余格原子数随源变量数目超指数增长的问题，作者提出了信息原子的贡献模式，将信息原子分为独特类，冗余类和协同类，对冗余格的结构进行粗粒化的计算方法
[[文件:PIRD的粗粒化计算方案.png|居中|缩略图|600x600像素]]
<nowiki>粗粒化分解式为$$I_{X;Y}=\sum_{m=1}^{N}\mathcal{U}{Y;X_m}+\mathcal{R}{Y;\mathbf{X}} + \mathcal{S}_{Y;\mathbf{X}}$$使得实际计算的信息原子规模从关于源变量数的超指数量级降低为线性量级（N+2，N为源变量数）。</nowiki>
三源VAR过程的测试算例和真实的大气高斯系统仿真的结果表明，PIRD框架能够精准捕捉到零时滞PID无法捕捉到的多元相互作用,在捕捉时间相关性和频率特异性交互上优于零时滞PID方案。
=== 相关框架 ===
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