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本文首先在一般 n 维动力系统的框架下给出极限环的严格数学定义及其基本性质，随后介绍二维系统中关于极限环的主要判定理论，最后概述高维系统中极限环的若干重要结果及相关研究问题。

本文首先在一般 n 维动力系统的框架下给出极限环的严格数学定义及其基本性质，随后介绍二维系统中关于极限环的主要判定理论，最后概述高维系统中极限环的若干重要结果及相关研究问题。

== 定义 ==

==定义==

该轨道可以看作某些其他轨道的极限集，即至少存在一条不同于它本身的轨道，在 <math>t \to +\infty</math> 或 <math>t \to -\infty</math> 时以螺旋方式趋近于该闭合轨道。<ref name="Perko" /><ref name="Devaney">Devaney, R. (1989). ''An Introduction to Chaotic Dynamical Systems''. CRC Press.</ref>

该轨道可以看作某些其他轨道的极限集，即至少存在一条不同于它本身的轨道，在 <math>t \to +\infty</math> 或 <math>t \to -\infty</math> 时趋近于该闭合轨道。<ref name="Perko" /><ref name="Devaney" /> 值得注意的是，一维自治系统中不可能存在极限环，因为一维相空间中的轨道只能单调递增、单调递减或停留于平衡点，无法构成闭合曲线。

为使用更形式化的语言描述这一概念，现考虑一个 <math>n</math> 维（<math>n \geq 2</math>）自治动力系统

: <math>x'(t) = V(x(t))</math>

其中 <math>V : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2</math> 为光滑向量场。<ref name="Strogatz">Strogatz, S. H. (1994). ''Nonlinear Dynamics and Chaos''. Westview Press.</ref>

该系统的一条轨线（trajectory）是满足上述微分方程的一个光滑解 <math>x:  \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2</math>。该轨线在相空间中的像 <math>x(t)</math>称为其轨道，是 <math>\mathbb{R}^2</math>的一个子集。<ref name="Perko">Perko, L. (2001). ''Differential Equations and Dynamical Systems''. Springer.</ref>

: <math>\mathbf{x}'(t) = \mathbf{f}(\mathbf{x}(t))</math>

若其中一条轨线不是常数解，并且存在 <math>T>0</math> ，使得

其中 <math>\mathbf{f} : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n</math> 为光滑向量场。<ref name="Strogatz" /> 该系统的一条轨线（trajectory）是满足上述微分方程的一个光滑解 <math>\mathbf{x} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n</math>，其在相空间中的像称为'''轨道'''，是 <math>\mathbb{R}^n</math> 的一个子集。<ref name="Perko" /> 若某条轨线不是常数解，并且存在 <math>T > 0</math>，使得

<math>x(t+T)=x(t)</math> 对所有 <math>t \in \mathbb{R}</math> 成立，则称其为周期解，在相空间中的像称为周期轨道或闭合轨道。<ref name="Strogatz" />

 

[[File:Limit cycle Poincare map.svg|250px|thumb|none|'''稳定极限环'''和另外两条螺旋靠近它的轨迹 ]]

[[File:Limit cycle Poincare map.svg|250px|thumb|none|'''稳定极限环'''和另外两条螺旋靠近它的轨迹 ]]