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:<math>m\ddot{x}</math>=F(x)
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定义势能<math>V(x)</math>，有<math>F(x)=-\frac{dV}{dx}</math>，有
定义势能<math>V(x)</math>，有<math>F(x)=-\frac{dV}{dx}</math>，有
[[文件:保守系统的非线性中心示例图.png|缩略图|图1：双阱系统能量等高线图及其相平面投影|right|300px]]
:<math>m\ddot{x}+\frac{dV}{dx}=0</math>
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两边同时乘以<math>\dot{x}</math>，得到一个关于时间的导数
两边同时乘以<math>\dot{x}</math>，得到一个关于时间的导数
该系统则为保守系统。
该系统则为保守系统。
=== 性质 ===
=== 性质 ===
* 一个保守系统不会存在任何吸引不动点。
* 一个保守系统不会存在任何吸引不动点。
'''反证法：'''假设<math>x^*</math>是一个吸引不动点。那么在吸引域中的所有点将具有同等能量<math>E(x^*)</math>。（因为能量在轨道上是守恒的，并且在区域内的所有轨迹都流向<math>x^*</math>）。因此<math>E(x)</math>对与所以吸引域内的<math>x</math>一定是常量函数。因为保守系统要求<math>E(x)</math>对于所有开集是非恒定的，因此这与保守系统的定义相矛盾。
'''反证法：'''假设<math>x^*</math>是一个吸引不动点。那么在吸引域中的所有点将具有同等能量<math>E(x^*)</math>。（因为能量在轨道上是守恒的，并且在区域内的所有轨迹都流向<math>x^*</math>）。
因此<math>E(x)</math>对与所以吸引域内的<math>x</math>一定是常量函数。因为保守系统要求<math>E(x)</math>对于所有开集是非恒定的，因此这与保守系统的定义相矛盾。