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然而，当不动点为'''非双曲不动点'''时（即存在实部为零的特征值），该定理不再适用。此时，高阶非线性项主导了不动点邻域内的动力学行为，微小的扰动即可能导致线性化预测的彻底失效。以下三类典型的非双曲边界情形极易发生定性改变：
然而，当不动点为'''非双曲不动点'''时（即存在实部为零的特征值），该定理不再适用。此时，高阶非线性项主导了不动点邻域内的动力学行为，微小的扰动即可能导致线性化预测的彻底失效。以下三类典型的非双曲边界情形极易发生定性改变：
[[文件:不动点的类型与稳定性.png|缩略图|图1：不动点的类型与稳定性|right|500px]]
[[文件:不动点的类型与稳定性.png|缩略图|图1：不动点的类型与稳定性|right|360px]]
=== 中心 ===
=== 中心 ===
[[文件:保守系统的非线性中心示例图.png|缩略图|图2：双阱系统能量等高线图及其相平面投影|right|300px]]
[[文件:保守系统的非线性中心示例图.png|缩略图|图2：双阱系统能量等高线图及其相平面投影|right|360px]]
=== 示例：双阱势系统 ===
=== 示例：双阱势系统 ===
无阻尼钟摆的非线性本质通过小角度的近似值<math>sin𝜃 ≈ 𝜃</math>被忽略。利用相图的分析钟摆旋转到顶部这一大角度的区域，在缺少阻力和外部吸引力的情况下，钟摆由下式决定：
无阻尼钟摆的非线性本质通过小角度的近似值<math>sin𝜃 ≈ 𝜃</math>被忽略。利用相图的分析钟摆旋转到顶部这一大角度的区域，在缺少阻力和外部吸引力的情况下，钟摆由下式决定：
[[文件:钟摆.png|缩略图|右|图3：无阻尼钟摆|right|250px]]
[[文件:钟摆.png|缩略图|右|图3：无阻尼钟摆|right|360px]]
:<math>\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L}\sin\theta = 0.</math>
:<math>\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L}\sin\theta = 0.</math>