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→摄动与平均法
对这两个方程在一个周期 <math>[0, 2\pi]</math> 上取平均，得到'''平均方程'''（averaged equations）：<ref name="Perko" />
对这两个方程在一个周期 <math>[0, 2\pi]</math> 上取平均，得到'''平均方程'''（averaged equations）：<ref name="Perko" />
<math display="block">
\dot{a} = \frac{\varepsilon}{2\pi}\int_0^{2\pi} g(a,\psi)\,d\psi,
</math>
<math display="block">
<math display="block">
\dot{\phi} = \frac{\varepsilon}{2\pi}\int_0^{2\pi} h(a,\psi)\,d\psi
\dot{\phi} = \frac{\varepsilon}{2\pi}\int_0^{2\pi} h(a,\psi)\,d\psi
</math>
</math>
其中 <math>g</math>、<math>h</math> 为由原方程非线性项导出的函数，<math>\psi = \theta \bmod 2\pi</math>。平均方程的不动点对应原系统的极限环，其稳定性可由平均方程线性化的特征值判定。
其中 <math>g</math>、<math>h</math> 为由原方程非线性项导出的函数，
<math>\psi = \theta \bmod 2\pi</math>。
平均方程的不动点对应原系统的极限环，其稳定性可由平均方程线性化的特征值判定。
'''平均法定理'''保证：在 <math>O(1/\varepsilon)</math> 的时间尺度上，平均方程的解与原系统的解之间的误差为 <math>O(\varepsilon)</math>。<ref name="Perko" />当需要更高精度时，可通过多尺度展开（multiple scales method）将渐近展开推进至更高阶，系统性地消除各阶的久期项。
'''平均法定理'''保证：在 <math>O(1/\varepsilon)</math> 的时间尺度上，平均方程的解与原系统的解之间的误差为 <math>O(\varepsilon)</math>。<ref name="Perko" />当需要更高精度时，可通过多尺度展开（multiple scales method）将渐近展开推进至更高阶，系统性地消除各阶的久期项。