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取<math>\mathcal{A} = \{ \{1\},\{2\},\{1,2\},\{\{1\}\{2\}\}\}</math>，由其生成的双重冗余格结构如下图所示,

取<math>\mathcal{A} = \{ \{1\},\{2\},\{1,2\},\{\{1\}\{2\}\}\}</math>，由其生成的双重冗余格结构如下图所示,

[[文件:双重冗余格.png|缩略图]]

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图中每个节点代表一有序对<math>\mathbf{\alpha \rightarrow \beta},\mathbf{\alpha,\beta \in \mathcal {A}}</math>,称双冗余原子

图中每个节点代表一有序对<math>\mathbf{\alpha \rightarrow \beta},\mathbf{\alpha,\beta \in \mathcal {A}}</math>,称双冗余原子

<math>I_{\phi\cap}^{MMI}(\mathbf{\alpha} \rightarrow \mathbf{\beta}) = \min_{i,j}I(A_i,B_i)</math>

<math>I_{\phi\cap}^{MMI}(\mathbf{\alpha} \rightarrow \mathbf{\beta}) = \min_{i,j}I(A_i,B_i)</math>

对于何种冗余函数能与乘积格兼容，存在特定限制条件。面对Mediano等人提出的“兼容性约束”条件，在多源单目标场景中，要求 <math>\PhiID </math>必须回归标准PID模式，这说明PID是<math>\PhiID</math>的一种特例。

对于何种冗余函数能与乘积格兼容，存在特定限制条件。面对Mediano等人提出的“兼容性约束”条件，在多源单目标场景中，要求 <math>\Phi ID </math>必须回归标准PID模式，这说明PID是<math>\Phi ID</math>的一种特例。

与单目标PID的情况不同,双重冗余格并源自冗余函数，而是通过边际格的乘积自然形成，这种用偏序格的代数结构处理冗余信息的方法在逻辑上正确性已成为学界共识，但相比于PID框架，<math>\PhiID</math>框架的数学基础处于亟待完善的状态。

与单目标PID的情况不同,双重冗余格并源自冗余函数，而是通过边际格的乘积自然形成，这种用偏序格的代数结构处理冗余信息的方法在逻辑上正确性已成为学界共识，但相比于PID框架，<math>\Phi ID</math>框架的数学基础处于亟待完善的状态。

== PID框架应用研究 ==

== PID框架应用研究 ==