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==== 奇怪吸引子：蝴蝶效应及混沌的诞生（1972-1975年） ====
==== 奇怪吸引子：蝴蝶效应及混沌的诞生（1972-1975年） ====
1972 年，洛伦兹在 AAAS 年会上，以“蝴蝶效应”形象阐释了初值敏感性，让混沌概念得以普及。
1972 年，洛伦兹在 AAAS 年会上，以“蝴蝶效应”形象阐释了初值敏感性，让混沌概念得以普及。
1975 年，李天岩与约克的论文首次给出“混沌”的严格数学定义。洛伦兹方程非周期、初值敏感、轨迹有界不重复特征，完全契合混沌定义，确认为首个经典混沌模型。
1975 年，李天岩与约克的论文首次给出“混沌”的严格数学定义。洛伦兹方程非周期、初值敏感、轨迹有界不重复特征，完全契合混沌定义，确认为首个经典混沌模型。洛伦兹方程引出了动力系统中奇怪吸引子概念，奇怪吸引子是一种特殊类的吸引子，其吸引区中相点运动均向该吸引子逼近，而吸引子内部相点运动是非周期的并具以下基本特征<ref>科普中国·科学百科《奇怪吸引子》</ref>：
1）该系统局部具正的李亚普诺夫指数，从而其相点至少在相当靠近之后又以指数速度分离。
2）足够长时间后任意两相点可以任意靠近。
3）该吸引子集合具分数维结构。
注：奇怪吸引子详细解释可参照<ref>集智百科《奇怪吸引子》词条</ref>
== 数学形式 ==
== 数学形式 ==
=== 混沌水车与动力学参数关系 ===
=== 混沌水车与动力学参数关系 ===
麻省理工学院现在使用了Malkus的更复杂的装置。水车处于工作台的顶端，在稍微倾斜的平面上旋转(图2)。水被抽进一个悬挂的多孔管，然后通过数十个小喷嘴喷出。喷嘴将水引入水车边缘的隔离舱室。舱室是透明的里面的水含食品着色剂，使得边缘处水的分布显而易见。水从每个舱室底部的小洞漏出，然后集中在水车的底部，在那里通过喷嘴再被抽回。系统提供了不断地输人水源(图3)。物理结构：圆形转轮 + 周向水槽 + 顶部注水 + 底部漏水 + 自由转动。
麻省理工学院现在使用了Malkus的更复杂的装置。水车处于工作台的顶端，在稍微倾斜的平面上旋转(图2)。水被抽进一个悬挂的多孔管，然后通过数十个小喷嘴喷出。喷嘴将水引入水车边缘的隔离舱室。舱室是透明的里面的水含食品着色剂，使得边缘处水的分布显而易见。水从每个舱室底部的小洞漏出，然后集中在水车的底部，在那里通过喷嘴再被抽回。系统提供了不断地输人水源(图3)。物理结构：圆形转轮 + 周向水槽 + 顶部注水 + 底部漏水 + 自由转动。
[[文件:侧视图.png|缩略图|图2：侧视图，引自</ref>Morris W. Hirsch;Stephen Smale;Robert L. Devaney．微分方程、动力系统与混沌导论（第2版）．北京：人民邮电出版社，2008：245</ref>]]
[[文件:侧视图.png|缩略图|图2：侧视图，引自<ref>Morris W. Hirsch;Stephen Smale;Robert L. Devaney．微分方程、动力系统与混沌导论（第2版）．北京：人民邮电出版社，2008：245</ref>]]
[[文件:俯视图.png|缩略图|图3：俯视图，引自</ref>Morris W. Hirsch;Stephen Smale;Robert L. Devaney．微分方程、动力系统与混沌导论（第2版）．北京：人民邮电出版社，2008：245</ref> ]]
[[文件:俯视图.png|缩略图|图3：俯视图，引自<ref>Morris W. Hirsch;Stephen Smale;Robert L. Devaney．微分方程、动力系统与混沌导论（第2版）．北京：人民邮电出版社，2008：245</ref> ]]
参数(图4)具有两种改变方式:可以调节水车上的制动器来增大或减小摩擦，可以通过转动水车上的螺钉来改变水车的倾斜度，这会改变重力的有效强度。物理结构：圆形转轮 + 周向均布水槽 + 顶部连续注水 + 底部连续漏水 + 整体自由转动。
参数(图4)具有两种改变方式:可以调节水车上的制动器来增大或减小摩擦，可以通过转动水车上的螺钉来改变水车的倾斜度，这会改变重力的有效强度。物理结构：圆形转轮 + 周向均布水槽 + 顶部连续注水 + 底部连续漏水 + 整体自由转动。
[[文件:参数.png|缩略图|图4：旋转参数，引自</ref>Morris W. Hirsch;Stephen Smale;Robert L. Devaney．微分方程、动力系统与混沌导论（第2版）．北京：人民邮电出版社，2008：245</ref>]]
[[文件:参数.png|缩略图|图4：旋转参数，引自<ref>Morris W. Hirsch;Stephen Smale;Robert L. Devaney．微分方程、动力系统与混沌导论（第2版）．北京：人民邮电出版社，2008：245</ref>]]
关键参数：
关键参数：
* <math>\omega(t)</math>：角速度
* <math>\omega(t)</math>：角速度