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这两个矩阵的 EI 完全相同，因为它们的平均输出分布相同，各行转移分布的熵也相同。也就是说，从 EI 的角度看，它们具有相同的因果效应强度。但从奇异值谱看，<math>P_{\mathrm{lin}}</math> 只有两条独立的信息通路，而 <math>P_{\mathrm{cmp}}</math> 有三条独立的信息通路。因此，<math>\Gamma_0</math> 和 <math>\Gamma_1</math> 能区分这两种动力学结构，而 EI 无法区分。这个例子说明，<math>\Gamma_{\alpha}</math> 的优势不在于替代 EI，而在于它能刻画 EI 不敏感的'''线性冗余'''：有些状态转移在概率分布上并不相同，却可能只是已有 information pathway 的线性混合。需要注意的是，<math>\Gamma_2</math> 在这个例子中相同，因为它更接近于衡量矩阵的确定性或能量大小；真正揭示通路冗余的是更偏向秩结构的 <math>\Gamma_0</math>，以及介于二者之间的 <math>\Gamma_1</math>。

这两个矩阵的 EI 完全相同，因为它们的平均输出分布相同，各行转移分布的熵也相同。也就是说，从 EI 的角度看，它们具有相同的因果效应强度。但从奇异值谱看，<math>P_{\mathrm{lin}}</math> 只有两条独立的信息通路，而 <math>P_{\mathrm{cmp}}</math> 有三条独立的信息通路。因此，<math>\Gamma_0</math> 和 <math>\Gamma_1</math> 能区分这两种动力学结构，而 EI 无法区分。这个例子说明，<math>\Gamma_{\alpha}</math> 的优势不在于替代 EI，而在于它能刻画 EI 不敏感的'''线性冗余'''：有些状态转移在概率分布上并不相同，却可能只是已有信息通道的线性混合。需要注意的是，<math>\Gamma_2</math> 在这个例子中相同，因为它更接近于衡量矩阵的确定性或能量大小；真正揭示通路冗余的是更偏向秩结构的 <math>\Gamma_0</math>，以及介于二者之间的 <math>\Gamma_1</math>。

我们可以证明，要获得最大化有效信息的粗粒化策略，近似等价于采用向最大奇异值对应的奇异向量方向投影的策略。严格推导可见[[基于有效信息的因果涌现理论]]。由于对离散马尔科夫链来说，粗粒化策略往往是由比较严格的 0 或 1 构成的向量，因此不能简单地按奇异向量直接投影。但是，如果粗粒化策略尽可能与最大的几个奇异向量平行，就可以让粗粒化后动力学的 EI 尽可能更大。因此，最大化 EI 的必要条件近似可以理解为：向最大奇异值对应的奇异向量空间做投影。在实际应用中，粗粒化策略 <math>\phi</math> 的约束（例如宏观动力学 TPM 的分组和归一化）会阻止 <math>\phi_j</math> 与奇异向量完美对齐。因此，基于 SVD 的粗粒化策略只是最大化 EI 的近似必要条件。

我们可以证明，要获得最大化有效信息的粗粒化策略，近似等价于采用向最大奇异值对应的奇异向量方向投影的策略。严格推导可见[[基于有效信息的因果涌现理论]]。由于对离散马尔科夫链来说，粗粒化策略往往是由比较严格的 0 或 1 构成的向量，因此不能简单地按奇异向量直接投影。但是，如果粗粒化策略尽可能与最大的几个奇异向量平行，就可以让粗粒化后动力学的 EI 尽可能更大。因此，最大化 EI 的必要条件近似可以理解为：向最大奇异值对应的奇异向量空间做投影。在实际应用中，粗粒化策略 <math>\phi</math> 的约束（例如宏观动力学 TPM 的分组和归一化）会阻止 <math>\phi_j</math> 与奇异向量完美对齐。因此，基于 SVD 的粗粒化策略只是最大化 EI 的近似必要条件。

===动力学一致性===

===动力学一致性===