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马尔科夫链的粗粒化 (查看源代码)

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→‎动力学一致性
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这两个矩阵的 EI 完全相同，因为它们的平均输出分布相同，各行转移分布的熵也相同。也就是说，从 EI 的角度看，它们具有相同的因果效应强度。但从奇异值谱看，<math>P_{\mathrm{lin}}</math> 只有两条独立的信息通路，而 <math>P_{\mathrm{cmp}}</math> 有三条独立的信息通路。因此，<math>\Gamma_0</math> 和 <math>\Gamma_1</math> 能区分这两种动力学结构，而 EI 无法区分。这个例子说明，<math>\Gamma_{\alpha}</math> 的优势不在于替代 EI，而在于它能刻画 EI 不敏感的'''线性冗余'''：有些状态转移在概率分布上并不相同，却可能只是已有信息通道的线性混合。需要注意的是，<math>\Gamma_2</math> 在这个例子中相同，因为它更接近于衡量矩阵的确定性或能量大小；真正揭示通路冗余的是更偏向秩结构的 <math>\Gamma_0</math>，以及介于二者之间的 <math>\Gamma_1</math>。
 
这两个矩阵的 EI 完全相同，因为它们的平均输出分布相同，各行转移分布的熵也相同。也就是说，从 EI 的角度看，它们具有相同的因果效应强度。但从奇异值谱看，<math>P_{\mathrm{lin}}</math> 只有两条独立的信息通路，而 <math>P_{\mathrm{cmp}}</math> 有三条独立的信息通路。因此，<math>\Gamma_0</math> 和 <math>\Gamma_1</math> 能区分这两种动力学结构，而 EI 无法区分。这个例子说明，<math>\Gamma_{\alpha}</math> 的优势不在于替代 EI，而在于它能刻画 EI 不敏感的'''线性冗余'''：有些状态转移在概率分布上并不相同，却可能只是已有信息通道的线性混合。需要注意的是，<math>\Gamma_2</math> 在这个例子中相同，因为它更接近于衡量矩阵的确定性或能量大小；真正揭示通路冗余的是更偏向秩结构的 <math>\Gamma_0</math>，以及介于二者之间的 <math>\Gamma_1</math>。
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==动力学一致性==
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好的粗粒化方案，应当尽可能保证原始网络（或转移矩阵）和粗粒化后网络（或转移矩阵）彼此相似。Erik Hoel 和 Klein <ref name=":19" /> 提出使用动力学一致性来衡量状态轨迹在原始网络和粗粒化后网络上的一致程度，因此可以用'''动力学一致性作为判断粗粒化方案合理性的标准'''。详情请见[[复杂网络中的因果涌现]]词条。
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以下关于[[动力学的一致性检验]]的描述节选自[[复杂网络中的因果涌现]]：
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定义微观网络 <math>G</math> 与宏观网络 <math>G_M</math>，分别在两个网络上进行[[随机游走]]。在某个时间 <math>t</math>，<math>G</math> 上的预期分布为 <math>P_m(t)</math>，而 <math>G_M</math> 上的预期分布为 <math>P_M(t)</math>。
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将 <math>P_m(t)</math> 分布叠加到宏观网络 <math>G_M</math> 的相同节点上，得到 <math>P_{M|m}(t)</math> 分布。通过计算 <math>P_M(t)</math> 和 <math>P_{M|m}(t)</math> 之间的 KL 散度来衡量其不一致性（inconsistency）。'''如果KL散度结果为零，则表示动力学一致'''。公式如下：
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<math>inconsistency=\sum_{t=0}^T D_{KL}[P_M(t)||P_{M|m}(t)]</math>
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也就是说，不一致性表示宏观和微观网络节点在不同时刻概率分布的[[KL散度]]之和。
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动力学一致性在某种程度上反映了动力学与粗粒化算子的可交换性，但比可交换性更灵活、更宽松，可以计算“不可交换但近似交换”的程度。
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==稳态分布下的随机动力学划分==
 
==稳态分布下的随机动力学划分==
取自“https://wiki.swarma.org/index.php/特殊:移动版差异/50008”