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==='''中心的非线性扰动'''===

==='''中心的非线性扰动'''===

为直观展示高阶非线性项如何破坏线性中心，考虑经典的二维非线性[[动力系统]]：

为直观展示高阶非线性项如何破坏线性中心，考虑经典的二维非线性[[动力系统]]：

:<math>\dot{x} = -y + ax(x^2+y^2)</math>

:<math>\left\{ \begin{array}{l} \dot{x} = -y + ax(x^2+y^2) \\[6pt] \dot{y} = x + ay(x^2+y^2) \end{array} \right.</math>

:<math>\dot{y} = x + ay(x^2+y^2) </math>

对该系统在坐标原点 (0,0) 处进行[[雅可比矩阵]]线性化，其近似线性系统的[[特征值]]为纯虚数 <math>\lambda = \pm i</math>。

对该系统在坐标原点 (0,0) 处进行[[雅可比矩阵]]线性化，其近似线性系统的[[特征值]]为纯虚数 <math>\lambda = \pm i</math>。

:<math>\left\{ \begin{array}{l} x = r\cos\theta \\ y = r\sin\theta \end{array} \right.</math>

:<math>\left\{ \begin{array}{l} x = r\cos\theta \\ y = r\sin\theta \end{array} \right.</math>

将极坐标代入原方程并化简，系统可严格转换为如下形式：

将极坐标代入原方程并化简，系统可严格转换为如下形式：

 

:<math>\left\{ \begin{array}{l} \dot{r} = ar^3 \\[6pt] \dot{\theta} = 1 \end{array} \right.</math>

:<math>\dot{r} = a r^3 </math>

:<math>\dot{\theta} = 1 </math>

 

基于极坐标方程，高阶非线性参数 <math>a</math> 对系统相图结构的决定性影响表现如下：

基于极坐标方程，高阶非线性参数 <math>a</math> 对系统相图结构的决定性影响表现如下：