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下图展示了我们对粗粒化问题的拆分：

下图展示了我们对粗粒化问题的拆分：

[[文件:问题拆分-新.png|替代=|无框|1000x1000像素]]

[[文件:问题拆分-新.png|无|缩略图|1000x1000像素]]

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|{{EquationRef|3}}}}

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[[文件:成块性充分必要条件.png|无|图3：成块性充分必要条件实例|缩略图|600像素]]

[[文件:成块性充分必要条件.png|缩略图|600像素|成块性充分必要条件实例]]

满足这个条件后，同一宏观组内的微观状态对所有宏观组的总转移概率都相同，因此可以把这些微观状态合并为一个宏观状态。合并后，宏观状态之间的转移概率可以由组内任意一个微观状态到目标宏观组的总转移概率给出。

满足这个条件后，同一宏观组内的微观状态对所有宏观组的总转移概率都相同，因此可以把这些微观状态合并为一个宏观状态。合并后，宏观状态之间的转移概率可以由组内任意一个微观状态到目标宏观组的总转移概率给出。

例如，在下图中，<math>s_1</math>和<math>s_2</math>都属于<math>A_1</math>，它们到<math>A_1</math>和<math>A_2</math>的转移概率相同；同样，<math>s_3</math>和<math>s_4</math>都属于<math>A_2</math>，它们到各宏观状态的转移概率也相同。因此，<math>[[1,2], [3, 4]]</math>是<math>P</math>的一个成块划分。

例如，在上图中，<math>s_1</math>和<math>s_2</math>都属于<math>A_1</math>，它们到<math>A_1</math>和<math>A_2</math>的转移概率相同；同样，<math>s_3</math>和<math>s_4</math>都属于<math>A_2</math>，它们到各宏观状态的转移概率也相同。因此，<math>[[1,2], [3, 4]]</math>是<math>P</math>的一个成块划分。

基于这个条件，我们可以定义成块划分的宏观动力学<math>A^{(t)} = A^{(t-1)} P'</math>：

基于这个条件，我们可以定义成块划分的宏观动力学<math>A^{(t)} = A^{(t-1)} P'</math>：

所有的'''因果态'''的集合由预测等价关系"[math]\sim[/math]"诱导的商集定义：[math]\mathcal{S}=S/\sim[/math]

所有的'''因果态'''的集合由预测等价关系"[math]\sim[/math]"诱导的商集定义：[math]\mathcal{S}=S/\sim[/math]

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===尺度闭合 与 成块性===

===尺度闭合 与 成块性===

[[文件:闭合性的概念-新.png|缩略图|强成块性 < 信息闭合/因果闭合 < 计算闭合；强成块性 < 弱成块性 |400x400px|替代=]]

[[文件:闭合性的概念-新.png|无|图4：强成块性 < 信息闭合/因果闭合 < 计算闭合；强成块性 < 弱成块性|缩略图|400x400像素]]

成块性和尺度闭合都关心“粗粒化后是否仍然自洽”，但它们关注的角度不同。'''成块性'''是马尔科夫链的内部结构的条件，强调宏观过程是否仍然是一个真正的马尔科夫链；'''尺度闭合'''则更强调跨尺度的预测、干预和机制是否能够独立成立。

成块性和尺度闭合都关心“粗粒化后是否仍然自洽”，但它们关注的角度不同。'''成块性'''是马尔科夫链的内部结构的条件，强调宏观过程是否仍然是一个真正的马尔科夫链；'''尺度闭合'''则更强调跨尺度的预测、干预和机制是否能够独立成立。

有了有效信息这一度量指标后，我们便可以讨论马尔科夫链上的因果涌现。对于一个马尔科夫链，观察者可以建立多尺度视角来区分微观和宏观。首先，原始的马尔科夫概率转移矩阵 <math>P_N</math> 定义了微观动力学；其次，经过对微观态的粗粒化映射（coarse-graining）后，观察者可以得到对应的宏观状态（即分组），这些宏观状态彼此之间的概率转移可以用宏观的马尔科夫概率转移矩阵 <math>P_M</math> 来刻画。对两个动力学分别计算 EI 后，如果宏观的 EI 大于微观 EI，我们就说该系统发生了因果涌现。

有了有效信息这一度量指标后，我们便可以讨论马尔科夫链上的因果涌现。对于一个马尔科夫链，观察者可以建立多尺度视角来区分微观和宏观。首先，原始的马尔科夫概率转移矩阵 <math>P_N</math> 定义了微观动力学；其次，经过对微观态的粗粒化映射（coarse-graining）后，观察者可以得到对应的宏观状态（即分组），这些宏观状态彼此之间的概率转移可以用宏观的马尔科夫概率转移矩阵 <math>P_M</math> 来刻画。对两个动力学分别计算 EI 后，如果宏观的 EI 大于微观 EI，我们就说该系统发生了因果涌现。

[[文件:CE.png|缩略图|因果涌现示意图|500x500像素]]

[[文件:CE.png|无|图5：因果涌现示意图|缩略图|500x500像素]]

可以定义一个新的指标直接度量因果涌现的程度：

可以定义一个新的指标直接度量因果涌现的程度：

当马尔科夫矩阵存在成块或近成块结构时，谱方法也可以直接用来恢复划分。实际问题中的难点在于：状态顺序常常被打乱，矩阵里还会混入噪声，因此我们往往既不知道它是否严格成块，也不知道应当分成几组。

当马尔科夫矩阵存在成块或近成块结构时，谱方法也可以直接用来恢复划分。实际问题中的难点在于：状态顺序常常被打乱，矩阵里还会混入噪声，因此我们往往既不知道它是否严格成块，也不知道应当分成几组。

[[文件:Lump fig1.png|缩略图|398x398像素|图6：Zhang<ref name=":4" /> 文章中的示意图。图中左面四个矩阵都是成块的马尔科夫矩阵，而右面的P_2是一个噪声矩阵，(P_1)^T P_2 = 0|替代=]]

[[文件:Lump fig1.png|无|图6：Zhang<ref name=":4" /> 文章中的示意图。图中左面四个矩阵都是成块的马尔科夫矩阵，而右面的P_2是一个噪声矩阵，(P_1)^T P_2 = 0|缩略图|400x400像素]]

针对这一问题，Anru Zhang<ref name=":4">Zhang, Anru, and Mengdi Wang. "Spectral state compression of markov processes." ''IEEE transactions on information theory'' 66.5 (2019): 3202-3231.</ref><ref name=":4" />提出先构造'''稳态流矩阵'''（frequency matrix）<math>F = \mathrm{diag}(\pi) \cdot P</math>，再利用它的奇异值结构来恢复成块划分。其中 <math>\pi</math> 是 <math>P</math> 的稳态分布，<math>F_{ij} = \pi_i P_{ij}</math> 表示稳态下从状态 <math>i</math> 流向状态 <math>j</math> 的长期概率流量。

针对这一问题，Anru Zhang<ref name=":4">Zhang, Anru, and Mengdi Wang. "Spectral state compression of markov processes." ''IEEE transactions on information theory'' 66.5 (2019): 3202-3231.</ref><ref name=":4" />提出先构造'''稳态流矩阵'''（frequency matrix）<math>F = \mathrm{diag}(\pi) \cdot P</math>，再利用它的奇异值结构来恢复成块划分。其中 <math>\pi</math> 是 <math>P</math> 的稳态分布，<math>F_{ij} = \pi_i P_{ij}</math> 表示稳态下从状态 <math>i</math> 流向状态 <math>j</math> 的长期概率流量。

# 待合并节点<math>A</math>的出流的计算方式都不一样，如图（7）所示：

# 待合并节点<math>A</math>的出流的计算方式都不一样，如图（7）所示：

[[文件:HOM示例.png|缩略图|图7：HOM节点边权合并示意图|替代=|500像素|无]]

[[文件:HOM示例.png|无|图7：HOM节点边权合并示意图|缩略图|500x500像素]]

论文<ref name=":19" />中提到，原始微观动力学与使用该方法聚合后的宏观动力学能够满足其定义的一致性。

论文<ref name=":19" />中提到，原始微观动力学与使用该方法聚合后的宏观动力学能够满足其定义的一致性。