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→随机吸引子和对应分组
在稳态视角下，马尔科夫链常见有三种情形：
在稳态视角下，马尔科夫链常见有三种情形：
* '''不可约、非周期'''：整个状态空间形成唯一的平凡吸引子 <math>A(\omega)=X</math>。这说明系统的长期活动遍及整个空间，因此随机动力学本身并不给出更细的自然分组。比如
* '''不可约、非周期'''：整个状态空间形成唯一的平凡吸引子 <math>A(\omega)=X</math>。这说明系统的长期活动遍及整个空间，因此随机动力学本身并不给出更细的自然分组。比如<math>
<math>
P=\begin{pmatrix}
P=\begin{pmatrix}
1/2&1/2&0\\
1/2&1/2&0\\
0&1/2&1/2
0&1/2&1/2
\end{pmatrix}.
\end{pmatrix}.
</math>
</math> 这个链不可约且有自环，所以是非周期的。随机吸引子是全集 <math>X=\{1,2,3\}</math>。若按吸引子粗粒化，只有一个宏观态 <math>A=X</math>，对应的宏观转移矩阵为 <math>P'=(1)</math>。这是一种平凡粗粒化，说明不可约非周期链本身没有由吸引子诱导出的非平凡分组。
这个链不可约且有自环，所以是非周期的。随机吸引子是全集 <math>X=\{1,2,3\}</math>。若按吸引子粗粒化，只有一个宏观态 <math>A=X</math>，对应的宏观转移矩阵为 <math>P'=(1)</math>。这是一种平凡粗粒化，说明不可约非周期链本身没有由吸引子诱导出的非平凡分组。
* '''可约'''：设 <math>S=T \cup R_1 \cup \cdots \cup R_m</math>，其中 <math>T</math> 是滑过态集，<math>R_i</math> 是闭合常返类。此时每个 <math>R_i</math> 都对应一个确定性的吸引子 <math>A_i=R_i</math>。系统一旦进入某个闭合常返类，就不会再离开。比如
* '''可约'''：设 <math>S=T \cup R_1 \cup \cdots \cup R_m</math>，其中 <math>T</math> 是滑过态集，<math>R_i</math> 是闭合常返类。此时每个 <math>R_i</math> 都对应一个确定性的吸引子 <math>A_i=R_i</math>。系统一旦进入某个闭合常返类，就不会再离开。比如<math>
<math>
P=\begin{pmatrix}
P=\begin{pmatrix}
1/3&1/3&1/3&0&0\\
1/3&1/3&1/3&0&0\\
0.6&0&0&0.4&0
0.6&0&0&0.4&0
\end{pmatrix}.
\end{pmatrix}.
</math>
</math> 其中 <math>R_1=\{1,2,3\}</math> 和 <math>R_2=\{4\}</math> 是两个闭合常返类，<math>T=\{5\}</math> 是滑过态。若为了描述过渡阶段而保留滑过态，按 <math>\{T,R_1,R_2\}</math> 的顺序粗粒化，可以得到
其中 <math>R_1=\{1,2,3\}</math> 和 <math>R_2=\{4\}</math> 是两个闭合常返类，<math>T=\{5\}</math> 是滑过态。若为了描述过渡阶段而保留滑过态，按 <math>\{T,R_1,R_2\}</math> 的顺序粗粒化，可以得到
<math>
<math>
P'=\begin{pmatrix}
P'=\begin{pmatrix}
0&0&1
0&0&1
\end{pmatrix}.
\end{pmatrix}.
</math>
</math> 这个例子中，宏观态 <math>R_1</math> 和 <math>R_2</math> 都是吸引子：一旦进入就出不去；滑过态 <math>T</math> 只描述进入吸引子之前的过渡。若只看稳态分布，<math>T</math> 的概率质量最终为 0，系统只会停留在某个闭合常返类内；此时稳态流归一化只能在具有正稳态质量的闭合常返类上定义，例如在 <math>\{R_1,R_2\}</math> 上得到吸收型宏观动力学。前文 <math>1/3,1/3,1/3,0</math> 加吸收态的 4 状态例子，就可以看作这里去掉滑过态后的特例：前三个状态构成一个吸引子，最后一个状态构成另一个吸引子。
这个例子中，宏观态 <math>R_1</math> 和 <math>R_2</math> 都是吸引子：一旦进入就出不去；滑过态 <math>T</math> 只描述进入吸引子之前的过渡。若只看稳态分布，<math>T</math> 的概率质量最终为 0，系统只会停留在某个闭合常返类内；此时稳态流归一化只能在具有正稳态质量的闭合常返类上定义，例如在 <math>\{R_1,R_2\}</math> 上得到吸收型宏观动力学。前文 <math>1/3,1/3,1/3,0</math> 加吸收态的 4 状态例子，就可以看作这里去掉滑过态后的特例：前三个状态构成一个吸引子，最后一个状态构成另一个吸引子。
* '''不可约、周期为 <math>d>1</math>'''：状态空间可分解为 <math>X=C_0 \cup C_1 \cup \cdots \cup C_{d-1}</math>，并按 <math>C_0 \to C_1 \to \cdots \to C_{d-1} \to C_0</math> 循环。此时吸引子不再是固定不动的闭合集合，而是随时间在周期子类之间切换的非平凡随机吸引子。比如
* '''不可约、周期为 <math>d>1</math>'''：状态空间可分解为 <math>X=C_0 \cup C_1 \cup \cdots \cup C_{d-1}</math>，并按 <math>C_0 \to C_1 \to \cdots \to C_{d-1} \to C_0</math> 循环。此时吸引子不再是固定不动的闭合集合，而是随时间在周期子类之间切换的非平凡随机吸引子。比如<math>
<math>
P=\begin{pmatrix}
P=\begin{pmatrix}
0&0&1/2&1/2\\
0&0&1/2&1/2\\
1/2&1/2&0&0
1/2&1/2&0&0
\end{pmatrix}.
\end{pmatrix}.
</math>
</math> 该链不可约，但周期为 2。状态空间可分为 <math>C_0=\{1,2\}</math> 和 <math>C_1=\{3,4\}</math>，系统每一步都在两个周期类之间来回跳转。按 <math>\{C_0,C_1\}</math> 粗粒化后，宏观转移矩阵为
该链不可约，但周期为 2。状态空间可分为 <math>C_0=\{1,2\}</math> 和 <math>C_1=\{3,4\}</math>，系统每一步都在两个周期类之间来回跳转。按 <math>\{C_0,C_1\}</math> 粗粒化后，宏观转移矩阵为
<math>
<math>
P'=\begin{pmatrix}
P'=\begin{pmatrix}
1&0
1&0
\end{pmatrix}.
\end{pmatrix}.
</math>
</math> 因此，周期情形下的“吸引子分组”不是“进入某个吸引子后永远停在里面”，而是保留系统的周期相位：从一个周期类必然转到下一个周期类。若只看稳态分布，两个周期类的总概率可以保持不变；但从单条轨道看，宏观态仍然会周期性跳转。
因此，周期情形下的“吸引子分组”不是“进入某个吸引子后永远停在里面”，而是保留系统的周期相位：从一个周期类必然转到下一个周期类。若只看稳态分布，两个周期类的总概率可以保持不变；但从单条轨道看，宏观态仍然会周期性跳转。
所以，随机动力学的意义不只是重新表述马尔科夫链，而是把'''长期命运相同的状态'''显式区分出来：常返类、周期类和滑过态之间的边界，本身就提供了一种值得优先尊重的粗粒化基准。详细的数学公式和证明可参考[[马尔科夫链中的随机动力学]]。
所以，随机动力学的意义不只是重新表述马尔科夫链，而是把'''长期命运相同的状态'''显式区分出来：常返类、周期类和滑过态之间的边界，本身就提供了一种值得优先尊重的粗粒化基准。详细的数学公式和证明可参考[[马尔科夫链中的随机动力学]]。