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→应用
=== 分子构象动力学 ===
=== 分子构象动力学 ===
代表文献： Kube & Weber, 2007, **A coarse graining method for the identification of transition rates between molecular conformations**。
代表文献： Kube & Weber, 2007, A coarse graining method for the identification of transition rates between molecular conformations
在分子动力学中，蛋白质、小分子或药物分子会不断改变自己的空间形状。例如，蛋白质可能会折叠、展开，或者在几种相对稳定的形状之间切换。这里的“构象”指的是分子的空间形状：同一个分子中，原子连接关系没有变，但整体姿态、弯曲方式或折叠方式不同，就对应不同构象。
在分子动力学中，蛋白质、小分子或药物分子会不断改变自己的空间形状。例如，蛋白质可能会折叠、展开，或者在几种相对稳定的形状之间切换。这里的“构象”指的是分子的空间形状：同一个分子中，原子连接关系没有变，但整体姿态、弯曲方式或折叠方式不同，就对应不同构象。
====合并复杂的分子组合 ====
====合并复杂的分子组合 ====
代表文献：Ganguly, Petrov & Koeppl, 2014, *Markov chain aggregation and its applications to combinatorial reaction networks*；Petrov, 2019, *Markov chain aggregation and its application to rule-based modelling*。
代表文献：Ganguly, Petrov & Koeppl, 2014, Markov chain aggregation and its applications to combinatorial reaction networks*；Petrov, 2019, *Markov chain aggregation and its application to rule-based modelling
细胞内部有大量化学反应。一个蛋白质可以被磷酸化，可以和另一个蛋白质结合，也可以从复合物中解离。由于分子可能有多个结合位点和修饰位点，所有可能的分子组合会非常多，即使反应规则本身不复杂，状态数也可能爆炸式增长。在这类模型中，微观状态是系统在某一时刻的完整化学状态。例如，一个微观状态需要说明：系统里有哪些分子、每种分子有多少个、哪些分子彼此结合、哪些位点被修饰等。每一次反应都会把系统从一个微观状态带到另一个微观状态。如果每个反应都有发生速率，那么整个系统就形成一个连续时间马尔科夫链。
细胞内部有大量化学反应。一个蛋白质可以被磷酸化，可以和另一个蛋白质结合，也可以从复合物中解离。由于分子可能有多个结合位点和修饰位点，所有可能的分子组合会非常多，即使反应规则本身不复杂，状态数也可能爆炸式增长。在这类模型中，微观状态是系统在某一时刻的完整化学状态。例如，一个微观状态需要说明：系统里有哪些分子、每种分子有多少个、哪些分子彼此结合、哪些位点被修饰等。每一次反应都会把系统从一个微观状态带到另一个微观状态。如果每个反应都有发生速率，那么整个系统就形成一个连续时间马尔科夫链。
====合并物种集合====
====合并物种集合====
代表文献：Mu et al., 2018, *Organisation-Oriented Coarse Graining and Refinement of Stochastic Reaction Networks*。
代表文献：Mu et al., 2018, Organisation-Oriented Coarse Graining and Refinement of Stochastic Reaction Networks
另外，在一些化学反应系统中，研究者关心的不是每一种分子此刻具体有多少个，而是系统最终会维持哪些物种。这里的“物种”可以理解为反应网络中的化学成分，例如某种分子、离子或复合物。“chemical organisation” 可以翻译为“化学组织”，指一组在反应中保持封闭、并且有可能自我维持的物种集合。通俗地说，如果系统进入某个化学组织，其中的物种可以通过反应互相支持，不会立刻消失，也不会不断产生完全不属于这个集合的外部物种。
另外，在一些化学反应系统中，研究者关心的不是每一种分子此刻具体有多少个，而是系统最终会维持哪些物种。这里的“物种”可以理解为反应网络中的化学成分，例如某种分子、离子或复合物。“chemical organisation” 可以翻译为“化学组织”，指一组在反应中保持封闭、并且有可能自我维持的物种集合。通俗地说，如果系统进入某个化学组织，其中的物种可以通过反应互相支持，不会立刻消失，也不会不断产生完全不属于这个集合的外部物种。
=== 网络社团检测 ===
=== 网络社团检测 ===
代表文献：Piccardi, 2011, *Finding and Testing Network Communities by Lumped Markov Chains*。
代表文献：Piccardi, 2011, Finding and Testing Network Communities by Lumped Markov Chains
网络社团检测的目标是找出网络中联系紧密的节点集合。例如，在社交网络中，社团可能是一群经常互动的人；在网页网络中，社团可能是一组主题相近的网站；在交通网络中，社团可能是一组流动联系紧密的区域。
网络社团检测的目标是找出网络中联系紧密的节点集合。例如，在社交网络中，社团可能是一群经常互动的人；在网页网络中，社团可能是一组主题相近的网站；在交通网络中，社团可能是一组流动联系紧密的区域。
=== 城市交通与出租车流 ===
=== 城市交通与出租车流 ===
代表文献：Zhang & Wang, 2020, *Spectral State Compression of Markov Processes*；Duan, Ke & Wang, 2019, *State Aggregation Learning from Markov Transition Data*。
代表文献：Zhang & Wang, 2020, Spectral State Compression of Markov Processes*；Duan, Ke & Wang, 2019, *State Aggregation Learning from Markov Transition Data
城市中的出租车、共享单车、手机信令、通勤和迁徙数据都可以看成地点之间的移动记录。例如，一次出租车行程从地点 i 到地点 j，就表示一次从 i 到 j 的转移。如果把城市划分成网格、街区或交通小区，就可以用马尔科夫链描述人在城市空间中的移动。
城市中的出租车、共享单车、手机信令、通勤和迁徙数据都可以看成地点之间的移动记录。例如，一次出租车行程从地点 i 到地点 j，就表示一次从 i 到 j 的转移。如果把城市划分成网格、街区或交通小区，就可以用马尔科夫链描述人在城市空间中的移动。
=== 海洋流与空间流动 ===
=== 海洋流与空间流动 ===
代表文献：Faccin, Schaub & Delvenne, 2021, *State aggregations in Markov chains and block models of networks*。
代表文献：Faccin, Schaub & Delvenne, 2021, State aggregations in Markov chains and block models of networks
在海洋、空气污染、生态扩散等系统中，研究者常关心物质如何在空间中移动。例如，海水、漂浮物、污染物或生物幼体可能随着流场移动。如果把空间切成许多小格子，就可以描述一个粒子从一个格子移动到另一个格子的概率。
在海洋、空气污染、生态扩散等系统中，研究者常关心物质如何在空间中移动。例如，海水、漂浮物、污染物或生物幼体可能随着流场移动。如果把空间切成许多小格子，就可以描述一个粒子从一个格子移动到另一个格子的概率。
=== Agent-based model 与观点动力学 ===
=== Agent-based model 与观点动力学 ===
代表文献：Banisch, Lima & Araújo, 2012, *Agent Based Models and Opinion Dynamics as Markov Chains*。
代表文献：Banisch, Lima & Araújo, 2012, Agent Based Models and Opinion Dynamics as Markov Chains
Agent-based model 是一种个体层面的建模方法。模型中有许多个体，每个个体按照简单规则行动或改变状态。例如，在观点动力学中，每个人可能支持观点 0 或观点 1，并受到邻居影响而改变观点。虽然个体规则简单，但所有个体组合起来以后，系统状态会非常多。
Agent-based model 是一种个体层面的建模方法。模型中有许多个体，每个个体按照简单规则行动或改变状态。例如，在观点动力学中，每个人可能支持观点 0 或观点 1，并受到邻居影响而改变观点。虽然个体规则简单，但所有个体组合起来以后，系统状态会非常多。
=== 排队网络与计算机系统 ===
=== 排队网络与计算机系统 ===
代表文献：Song & Takahashi, 1991, *Aggregate Approximation for Tandem Queueing Systems with Production Blocking*；Gambin, Krzyżanowski & Pokarowski, 2008, *Aggregation algorithms for perturbed Markov chains with applications to networks modeling*。
代表文献：Song & Takahashi, 1991, Aggregate Approximation for Tandem Queueing Systems with Production Blocking；Gambin, Krzyżanowski & Pokarowski, 2008, Aggregation algorithms for perturbed Markov chains with applications to networks modeling
排队系统和计算机系统经常可以用马尔科夫链建模。例如，一个工厂生产线有多个工位，每个工位前面可能有队列；一个服务器系统有多个任务等待处理。系统的完整状态需要记录每个队列有多少任务、每个服务器是否忙碌、是否发生阻塞等。
排队系统和计算机系统经常可以用马尔科夫链建模。例如，一个工厂生产线有多个工位，每个工位前面可能有队列；一个服务器系统有多个任务等待处理。系统的完整状态需要记录每个队列有多少任务、每个服务器是否忙碌、是否发生阻塞等。