更改

极限环（limit cycle）是[[非线性动力学]]中的重要概念，用于描述[[动力系统]]在长期演化过程中所呈现的稳定周期行为。当系统的轨道不收敛于[[平衡点]]，而是逐渐趋近于一条孤立的[[闭合轨道]]时，系统的运动最终表现为沿该[[闭合轨道]]的周期运动，这样的[[闭轨道]]称为极限环。

极限环（limit cycle）是[[非线性动力学]]中的重要概念，用于描述[[动力系统]]在长期演化过程中所呈现的稳定周期行为。当系统的轨道不收敛于[[平衡点]]，而是逐渐趋近于一条孤立的[[闭合轨道]]时，系统的运动最终表现为沿该[[闭合轨道]]的周期运动，这样的[[闭轨道]]称为极限环。

该概念最早由法国数学家[[Henri Poincaré]]在19世纪末研究[[微分方程]]的定性理论时提出，是现代[[动力系统理论]]中的核心概念之一。极限环通常出现在[[自治常微分方程]]所描述的连续动力系统中，用以刻画系统在长期时间尺度下的周期性行为。

该概念最早由法国数学家[[Henri Poincaré]]在19世纪末研究[[微分方程的定性理论]]时提出，是现代[[动力系统理论]]中的核心概念之一。极限环通常出现在[[自治常微分方程]]所描述的[[连续动力系统]]中，用以刻画系统在长期时间尺度下的周期性行为。

从相空间维数的角度看，极限环可以存在于二维及更高维的系统中，但在一维自治系统中不可能出现极限环。相比之下，二维系统中的极限环理论最为成熟，[[庞加莱–本迪克松定理]]等经典结果提供了存在性判据；在三维及更高维系统中，极限环同样可以存在，但缺乏与二维系统相当的一般性结论。

从[[相空间维数]]的角度看，极限环可以存在于二维及更高维的系统中，但在一维[[自治系统]]中不可能出现极限环。相比之下，[[二维动力系统]]中的极限环理论最为成熟，[[庞加莱–本迪克松定理]]等经典结果提供了一个存在性判据；在三维及更高维系统中，极限环同样可以存在，但缺乏与二维系统相当的一般性结论。

本词条首先在一般 <math>n</math> 维动力系统的框架下给出极限环的严格数学定义及其基本性质，随后重点介绍二维系统中关于极限环的主要判定理论，最后概述高维系统中极限环的若干重要结果及相关研究问题。

本词条首先在一般 <math>n</math> 维[[动力系统]]的框架下给出极限环的严格数学定义及其基本性质，随后重点介绍二维系统中关于极限环的主要判定理论，最后概述高维系统中极限环的若干重要结果及相关研究问题。

== 定义 ==

== 定义 ==