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二维线性动力系统 (查看源代码)

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第20行：第20行：

因此，二维线性系统不动点的类型可统一由<math>\displaystyle{ T }</math>、<math>\displaystyle{ \Delta }</math>以及判别式<math>\displaystyle{ T^2-4\Delta }</math>来决定。

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[[文件:二维线性系统不动点分类.png|缩略图|二维线性系统不动点的迹-行列式（Trace-Determinant）分类平面图]]

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如右图所示，以行列式 [math]\Delta[/math] 为横轴，迹 [math]T[/math] 为纵轴，可以将系统所有的定性行为在二维平面上进行直观的几何划分：

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* '''鞍点（Saddle Point）：''' 当 [math]\Delta < 0[/math]（即左半平面）时，特征值为一正一负的实数。此时系统在某个方向上吸引，在另一个方向上排斥，整体表现为不稳定。

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* '''抛物线分界线：''' 曲线 [math]T^2 - 4\Delta = 0[/math] 是实数根与复数根的临界线。

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** 在抛物线'''外部'''（[math]\Delta > 0[/math] 且 [math]T^2 - 4\Delta > 0[/math]），特征值为同号实数，对应于'''结点（Node）'''。

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** 在抛物线'''内部'''（[math]\Delta > 0[/math] 且 [math]T^2 - 4\Delta < 0[/math]），特征值为共轭复数，对应于伴随旋转行为的'''焦点（Focus）'''。

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* '''稳定与不稳定的分界：''' 对于右半平面（[math]\Delta > 0[/math]），横轴 [math]T = 0[/math] 是判断稳定性的关键。

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** 当 [math]T < 0[/math]（下半平面），系统是'''渐近稳定'''的（稳定结点或稳定焦点），能量逐渐耗散，轨迹最终汇聚于原点。

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** 当 [math]T > 0[/math]（上半平面），系统是'''不稳定'''的（不稳定结点或不稳定焦点），轨迹向外发散。

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** 当 [math]T = 0[/math]（正半横轴），特征值为纯虚数，系统能量守恒，形成围绕原点的闭合周期轨道，即'''中心（Center）'''。下文提到的“相爱相杀”模型正属于此类。

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* '''退化情况：''' 抛物线本身对应着特征值相等的退化结点或星点；而纵轴（[math]\Delta = 0[/math]）对应着存在零特征值的非孤立不动点（即存在一条由平衡点组成的直线）。

==经典实例：二维谐振子系统<ref name=":4" />==

第34行：第48行：

<math>\displaystyle{ \begin{pmatrix} \dot{x}\\ \dot{v} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ -\frac{k}{m} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ v \end{pmatrix} }</math>

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从该演化方程可以看出，要完全确定系统未来的状态，仅仅知道位置<math>\displaystyle{ x }</math>这一物理量是不够的，还必须掌握系统当下的速度<math>\displaystyle{ v }</math>。因此，描述该系统的自然状态空间不再是一维的直线，而是由位置与速度构成的二维'''~~相平面<nowiki>'''</nowiki>（Phase~~ plane），即<math>\displaystyle{ (x,v) }</math>空间。

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从该演化方程可以看出，要完全确定系统未来的状态，仅仅知道位置<math>\displaystyle{ x }</math>这一物理量是不够的，还必须掌握系统当下的速度<math>\displaystyle{ v }</math>。因此，描述该系统的自然状态空间不再是一维的直线，而是由位置与速度构成的二维'''相平面（Phase plane），即<math>\displaystyle{ (x,v) }</math>空间。'''

==跨学科案例：罗密欧与朱丽叶的恋爱动力学<ref name=":4" />==

张新宇

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