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传统的网络距离度量（如最短路径长度或基于封闭网络的随机游走距离）难以直接刻画开放流网络中注意力的真实流动模式。这是因为现实网络中存在显著的“源”（注意力起点）与“汇”（注意力终点或流失点），使得流动具有方向性与耗散性。为了更真实地量化网站间的“心理距离”——即用户基于现有链接结构和流量模式，从一个网站自然跳转到另一个网站所需的“认知成本”或“难易程度”——我们需要一种能够结合网络拓扑与实际用户行为（流量） 的新距离度量方法，即流距离【12】。

传统的网络距离度量（如最短路径长度或基于封闭网络的随机游走距离）难以直接刻画开放流网络中注意力的真实流动模式。这是因为现实网络中存在显著的“源”（注意力起点）与“汇”（注意力终点或流失点），使得流动具有方向性与耗散性。为了更真实地量化网站间的“心理距离”——即用户基于现有链接结构和流量模式，从一个网站自然跳转到另一个网站所需的“认知成本”或“难易程度”——我们需要一种能够结合网络拓扑与实际用户行为（流量） 的新距离度量方法，即流距离【12】。

其计算过程始于我们已构建的流网络图5B及其对应的图5A中的流矩阵：

其计算过程始于我们已构建的流网络图5B及其对应的图5A中的流矩阵：

<math>F_{(N+2)\times(N+2)}=\{f_{ij}\}_{(N+2)\times(N+2)}</math>

<math>F_{(N+2)\times(N+2)}=\{f_{ij}\}_{(N+2)\times(N+2)}</math>

其中，矩阵维度 N+2包含了全部N个真实网站节点，以及两个虚拟节点：源（source） 与 汇（sink）。元素<math>f_{ij}</math>表示从节点<math>i</math>到节点<math>j</math>的实际观测流量。该矩阵完整记录了注意力在网络中有向流动的强度，是后续计算的基础。

其中，矩阵维度 N+2包含了全部N个真实网站节点，以及两个虚拟节点：源（source） 与 汇（sink）。元素<math>f_{ij}</math>表示从节点<math>i</math>到节点<math>j</math>的实际观测流量。该矩阵完整记录了注意力在网络中有向流动的强度，是后续计算的基础。

为了得到流距离，我们需要根据原始流矩阵计算一个马尔可夫矩阵，我们首先将流矩阵<math>F_{(N+2)\times(N+2)}</math>按行归一化，得到一个马尔可夫概率转移矩阵<math>M=\{m_{ij}\}_{(N+2)\times(N+2)}</math>，<math>m_{ij}</math>表示节点<math>i</math>到节点<math>j</math>的跳转概率，由流量归一化

为了得到流距离，我们需要根据原始流矩阵计算一个马尔可夫矩阵，我们首先将流矩阵<math>F_{(N+2)\times(N+2)}</math>按行归一化，得到一个马尔可夫概率转移矩阵<math>M=\{m_{ij}\}_{(N+2)\times(N+2)}</math>，<math>m_{ij}</math>表示节点<math>i</math>到节点<math>j</math>的跳转概率，由流量归一化

<math>m_{ij}=\frac{f_{ij}}{\sum_{k=1}^{N+1}f_{ij}}</math>

<math>m_{ij}=\frac{f_{ij}}{\sum_{k=1}^{N+1}f_{ij}}</math>

获得。这一转化将实际的流量分布转化为一个可进行随机过程分析的转移模型。

获得。这一转化将实际的流量分布转化为一个可进行随机过程分析的转移模型。

在此基础上，我们定义两个网站<math>i</math>与<math>j</math>之间的流距离<math>l_{ij}</math>为：一个随机游走者从节点<math>i</math>出发，首次到达节点<math>j</math>所需经过的期望步数（平均跳转次数）。该定义直观反映了用户在实际浏览中从一个网站触及另一个网站的“便捷性”：距离越短，意味着用户在自然浏览中越容易从<math>i</math>跳转至<math>j</math>；距离越长，则说明两者在用户行为路径中相对隔离。通过定义流距离<math>l_{ij}</math>表示用户首次从网站<math>i</math>跳转到网站$$j$$所经过的平均步数，的到图5C中的流距离矩阵。计算公式为：

在此基础上，我们定义两个网站<math>i</math>与<math>j</math>之间的流距离<math>l_{ij}</math>为：一个随机游走者从节点<math>i</math>出发，首次到达节点<math>j</math>所需经过的期望步数（平均跳转次数）。该定义直观反映了用户在实际浏览中从一个网站触及另一个网站的“便捷性”：距离越短，意味着用户在自然浏览中越容易从<math>i</math>跳转至<math>j</math>；距离越长，则说明两者在用户行为路径中相对隔离。通过定义流距离<math>l_{ij}</math>表示用户首次从网站<math>i</math>跳转到网站$$j$$所经过的平均步数，的到图5C中的流距离矩阵。计算公式为：

<math>l_{ij}=\frac{(MU^2)_{ij}}{U_{ij}}−\frac{(MU^2)_{jj}}{U_{jj}}</math>

<math>l_{ij}=\frac{(MU^2)_{ij}}{U_{ij}}−\frac{(MU^2)_{jj}}{U_{jj}}</math>

其中计算公式可借助马尔可夫链的基本矩阵<math>U=I+M+M^2+\cdots=(I−M)^{−1}</math>，<math>U_{ij}</math>表示从<math>i</math>出发，在所有时间步（包括零步及无穷步）内访问到$$j$$的期望总访问次数（含首次及后续重复访问）。该公式的推导源于马尔可夫链中“首次到达时间”的理论。计算结果最终构成一个流距离矩阵（如图C所示），它对称、非负，且满足三角不等式，从而可被视为一种合理的度量，能够用于后续的多维尺度分析（MDS），将节点嵌入到欧几里得空间进行可视化。

其中计算公式可借助马尔可夫链的基本矩阵<math>U=I+M+M^2+\cdots=(I−M)^{−1}</math>，<math>U_{ij}</math>表示从<math>i</math>出发，在所有时间步（包括零步及无穷步）内访问到$$j$$的期望总访问次数（含首次及后续重复访问）。该公式的推导源于马尔可夫链中“首次到达时间”的理论。计算结果最终构成一个流距离矩阵（如图C所示），它对称、非负，且满足三角不等式，从而可被视为一种合理的度量，能够用于后续的多维尺度分析（MDS），将节点嵌入到欧几里得空间进行可视化。

总结而言，流距离的提出与计算，实现了从原始流量数据到概率模型，再到具有行为解释意义的距离度量的转化。它不仅纳入了网络链接结构，更重要的是融合了用户实际流动的偏好与强度，从而为揭示注意力网络中网站间的“认知邻近性”提供了更贴合真实用户心理的量化标尺。

总结而言，流距离的提出与计算，实现了从原始流量数据到概率模型，再到具有行为解释意义的距离度量的转化。它不仅纳入了网络链接结构，更重要的是融合了用户实际流动的偏好与强度，从而为揭示注意力网络中网站间的“认知邻近性”提供了更贴合真实用户心理的量化标尺。