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|keywords=复杂系统,混沌,洛伦兹系统

|keywords=洛伦兹方程,混沌水车,混沌理论,非线性动力学,蝴蝶效应,洛伦兹吸引子

|description=非线性,混沌,洛伦兹系统

|description=洛伦兹方程及混沌水车，1963年由爱德华·洛伦兹提出，是混沌理论的奠基性模型，描述三维自治非线性动力系统。

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洛伦兹方程(Lorenz equation)描述空气流体运动的一个简化微分方程组.1963年，美国气象学家洛伦兹(Lorenz,E. N.)将描述大气热对流的非线 性偏微分方程组通过傅里叶展开，大胆地截断而导 出描述垂直速度、上下温差的展开系数x(t),y(t),z(t)的三维自治动力系统  <ref>Morris W. Hirsch;Stephen Smale;Robert L. Devaney．微分方程、动力系统与混沌导论（第2版）．北京：人民邮电出版社，2008：245</ref> :

洛伦兹方程(Lorenz equation)描述空气流体运动的一个简化[[微分方程组]]。1963年，美国气象学家[[洛伦兹]](Lorenz,E. N.)将描述大气热对流的非线性偏微分方程组通过[[傅里叶]]展开，大胆地截断而导出描述垂直速度、上下温差的展开系数[math]x(t),y(t),z(t)[/math]的三维自治[[动力系统]]<ref>Morris W. Hirsch;Stephen Smale;Robert L. Devaney．微分方程、动力系统与混沌导论（第2版）．北京：人民邮电出版社，2008：245</ref> :

[[File:lorenz2.gif|200px|thumb|right|图1：洛伦兹吸引子当 r = 28, σ = 10, and b = 8/3 <ref>Daniel Dennett (1995), [https://en.wikipedia.org/wiki/Darwin%27s_Dangerous_Idea Darwin's Dangerous Idea], Penguin Books, London, ISBN 978-0-14-016734-4, ISBN 0-14-016734-X </ref>]]

[[File:lorenz2.gif|400px|thumb|right|图1：洛伦兹吸引子（[math]r = 28, \sigma=10, b = 8/3[/math] <ref>Daniel Dennett (1995), [https://en.wikipedia.org/wiki/Darwin%27s_Dangerous_Idea Darwin's Dangerous Idea], Penguin Books, London, ISBN 978-0-14-016734-4, ISBN 0-14-016734-X </ref>）]]

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其中：

其中：

:: <math>σ</math>:普朗特数

:: <math>\sigma</math>:普朗特数

::  <math>b</math>:几何耗散参数

::  <math>b</math>:几何耗散参数

:: <math>r</math>:为瑞利数

:: <math>r</math>:为[[瑞利数]]

他发现当r不断增加时，系统就由定常态(表示空气静止)分岔出周期态(表示对流状态)，最后，当r>24. 74时， 又分岔出非周期的混沌态(表示湍流).

他发现当[math]r[/math]不断增加时，系统就由定常态(表示空气静止)分岔出周期态(表示对流状态)，最后，当[math]r>24.74[/math]时， 又[[分岔]]出非周期的[[混沌态]](表示[[湍流]]).

如图是三维相空间的混沌态在二维平面上的投影轨线.从图上 看出，轨线起初在右边从外向内绕圈子，后来随机地跳到左边从外向内绕圈子，后又再次随机地跳回右边绕圈子（图1），……如此左右跳来跳去，每次绕的圈数，何时发生跳跃都是随机的、无规则的. 由于洛伦兹是世界上第一个从确定的方程中发现了非周期的混沌现象，所以将上述方程一般称为洛伦兹方程. <ref>数学辞海第5卷</ref>

如图1是三维相空间的混沌态在二维平面上的投影轨线。从图1上看出，轨线起初在右边从外向内绕圈子，后来随机地跳到左边从外向内绕圈子，后又再次随机地跳回右边绕圈子……。如此左右跳来跳去，每次绕的圈数，何时发生跳跃都是随机的、无规则的. 由于[[洛伦兹]]是世界上第一个从确定的方程中发现了非周期的[[混沌]]现象，所以将上述方程一般称为洛伦兹方程. <ref>数学辞海第5卷</ref>

 

== 背景及历史 ==

== 背景及历史 ==

=== 基本概念 ===

=== 基本概念 ===

洛伦兹方程，是一组描述大气对流的非线性常微分方程组，由美国气象学家爱德华・洛伦兹（Edward N. Lorenz）于 1963 年提出，是混沌理论的标志性模型之一。该系统展现了确定性动力系统中对初始条件的极端敏感性，即 “蝴蝶效应”，打破了 “确定性方程必有确定解” 的传统认知，成为混沌科学发展的里程碑。该方程组通过傅里叶展开和截断方法，将大气热对流的非线性PDE简化为三维自治动力系统，用于描述空气流体运动<ref>百度百科《洛伦兹方程》</ref>。

洛伦兹方程，是一组描述大气对流的[[非线性]][[常微分方程组]]，由美国气象学家[[爱德华・洛伦兹]]（Edward N. Lorenz）于 1963 年提出，是[[混沌理论]]的标志性模型之一。该系统展现了确定性动力系统中对初始条件的极端敏感性，即 “[[蝴蝶效应]]”，打破了 “确定性方程必有确定解” 的传统认知，成为混沌科学发展的里程碑。该方程组是通过[[傅里叶展开]]和截断方法，将大气热对流的非线性[[偏微分方程]]简化为三维自治[[动力系统]]，用于近似描述空气流体运动<ref>百度百科《洛伦兹方程》</ref>。

=== 重要地位 ===

=== 重要地位 ===