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=== [[分子构象动力学]] ===

=== [[分子构象动力学]] ===

代表文献： Kube & Weber, 2007, A coarse graining method for the identification of transition rates between molecular conformations. <ref name=":10">Kube, Susanna, and Marcus Weber. "A coarse graining method for the identification of transition rates between molecular conformations." The Journal of chemical physics 126.2 (2007).</ref>

代表文献： Kube & Weber, 2007, A coarse graining method for the identification of transition rates between molecular conformations. <ref name=":app1">Kube, Susanna, and Marcus Weber. "A coarse graining method for the identification of transition rates between molecular conformations." The Journal of chemical physics 126.2 (2007).</ref>

在分子动力学中，蛋白质、小分子或药物分子会不断改变自己的空间形状。例如，蛋白质可能会折叠、展开，或者在几种相对稳定的形状之间切换。这里的“构象”指的是分子的空间形状：同一个分子中，原子连接关系没有变，但整体姿态、弯曲方式或折叠方式不同，就对应不同构象。

在分子动力学中，蛋白质、小分子或药物分子会不断改变自己的空间形状。例如，蛋白质可能会折叠、展开，或者在几种相对稳定的形状之间切换。这里的“构象”指的是分子的空间形状：同一个分子中，原子连接关系没有变，但整体姿态、弯曲方式或折叠方式不同，就对应不同构象。

====合并复杂的分子组合 ====

====合并复杂的分子组合 ====

代表文献：Ganguly, Petrov & Koeppl, 2014, Markov chain aggregation and its applications to combinatorial reaction networks；Petrov, 2019, Markov chain aggregation and its application to rule-based modelling

代表文献：Ganguly, Petrov & Koeppl, 2014, Markov chain aggregation and its applications to combinatorial reaction networks；Petrov, 2019, Markov chain aggregation and its application to rule-based modeling.<ref name=":app2">Ganguly, Arnab, Tatjana Petrov, and Heinz Koeppl. "Markov chain aggregation and its applications to combinatorial reaction networks." Journal of mathematical biology 69.3 (2014): 767-797.</ref>

细胞内部有大量化学反应。一个蛋白质可以被磷酸化，可以和另一个蛋白质结合，也可以从复合物中解离。由于分子可能有多个结合位点和修饰位点，所有可能的分子组合会非常多，即使反应规则本身不复杂，状态数也可能爆炸式增长。在这类模型中，微观状态是系统在某一时刻的完整化学状态。例如，一个微观状态需要说明：系统里有哪些分子、每种分子有多少个、哪些分子彼此结合、哪些位点被修饰等。每一次反应都会把系统从一个微观状态带到另一个微观状态。如果每个反应都有发生速率，那么整个系统就形成一个[[连续时间马尔科夫链]]。

细胞内部有大量化学反应。一个蛋白质可以被磷酸化，可以和另一个蛋白质结合，也可以从复合物中解离。由于分子可能有多个结合位点和修饰位点，所有可能的分子组合会非常多，即使反应规则本身不复杂，状态数也可能爆炸式增长。在这类模型中，微观状态是系统在某一时刻的完整化学状态。例如，一个微观状态需要说明：系统里有哪些分子、每种分子有多少个、哪些分子彼此结合、哪些位点被修饰等。每一次反应都会把系统从一个微观状态带到另一个微观状态。如果每个反应都有发生速率，那么整个系统就形成一个[[连续时间马尔科夫链]]。

====合并物种集合====

====合并物种集合====

代表文献：Mu et al., 2018, Organisation-Oriented Coarse Graining and Refinement of Stochastic Reaction Networks

代表文献：Mu et al., 2018, Organisation-Oriented Coarse Graining and Refinement of Stochastic Reaction Networks.<ref name=":app3">Mu, Chunyan, et al. "Organisation-oriented coarse graining and refinement of stochastic reaction networks." IEEE/ACM Transactions on Computational Biology and Bioinformatics 15.4 (2018): 1152-1166.</ref>

另外，在一些化学反应系统中，研究者关心的不是每一种分子此刻具体有多少个，而是系统最终会维持哪些物种。这里的“物种”可以理解为反应网络中的化学成分，例如某种分子、离子或复合物。“chemical organisation” 可以翻译为“[[化学组织]]”，指一组在反应中保持封闭、并且有可能自我维持的物种集合。通俗地说，如果系统进入某个化学组织，其中的物种可以通过反应互相支持，不会立刻消失，也不会不断产生完全不属于这个集合的外部物种。

另外，在一些化学反应系统中，研究者关心的不是每一种分子此刻具体有多少个，而是系统最终会维持哪些物种。这里的“物种”可以理解为反应网络中的化学成分，例如某种分子、离子或复合物。“chemical organisation” 可以翻译为“[[化学组织]]”，指一组在反应中保持封闭、并且有可能自我维持的物种集合。通俗地说，如果系统进入某个化学组织，其中的物种可以通过反应互相支持，不会立刻消失，也不会不断产生完全不属于这个集合的外部物种。

=== [[网络社团检测]] ===

=== [[网络社团检测]] ===

代表文献：Piccardi, 2011, Finding and Testing Network Communities by Lumped Markov Chains

代表文献：Piccardi, 2011, Finding and Testing Network Communities by Lumped Markov Chains.<ref name=":app4">Piccardi, Carlo. "Finding and testing network communities by lumped Markov chains." PloS one 6.11 (2011): e27028.</ref>

网络社团检测的目标是找出网络中联系紧密的节点集合。例如，在社交网络中，社团可能是一群经常互动的人；在网页网络中，社团可能是一组主题相近的网站；在交通网络中，社团可能是一组流动联系紧密的区域。

网络社团检测的目标是找出网络中联系紧密的节点集合。例如，在社交网络中，社团可能是一群经常互动的人；在网页网络中，社团可能是一组主题相近的网站；在交通网络中，社团可能是一组流动联系紧密的区域。

=== 城市交通与出租车流 ===

=== 城市交通与出租车流 ===

代表文献：Zhang & Wang, 2020, Spectral State Compression of Markov Processes*；Duan, Ke & Wang, 2019, *State Aggregation Learning from Markov Transition Data

代表文献：Zhang & Wang, 2020, Spectral State Compression of Markov Processes <ref name=":4" />；Duan, Ke & Wang, 2019, *State Aggregation Learning from Markov Transition Data.<ref name=":11" />

城市中的出租车、共享单车、手机信令、通勤和迁徙数据都可以看成地点之间的移动记录。例如，一次出租车行程从地点 i 到地点 j，就表示一次从 i 到 j 的转移。如果把城市划分成网格、街区或交通小区，就可以用马尔科夫链描述人在城市空间中的移动。

城市中的出租车、共享单车、手机信令、通勤和迁徙数据都可以看成地点之间的移动记录。例如，一次出租车行程从地点 i 到地点 j，就表示一次从 i 到 j 的转移。如果把城市划分成网格、街区或交通小区，就可以用马尔科夫链描述人在城市空间中的移动。

=== 海洋流与空间流动 ===

=== 海洋流与空间流动 ===

代表文献：Faccin, Schaub & Delvenne, 2021, State aggregations in Markov chains and block models of networks

代表文献：Faccin, Schaub & Delvenne, 2021, State aggregations in Markov chains and block models of networks. <ref name=":app5">Faccin, Mauro, Michael T. Schaub, and Jean-Charles Delvenne. "State aggregations in Markov chains and block models of networks." Physical Review Letters 127.7 (2021): 078301.</ref>

在海洋、空气污染、生态扩散等系统中，研究者常关心物质如何在空间中移动。例如，海水、漂浮物、污染物或生物幼体可能随着流场移动。如果把空间切成许多小格子，就可以描述一个粒子从一个格子移动到另一个格子的概率。

在海洋、空气污染、生态扩散等系统中，研究者常关心物质如何在空间中移动。例如，海水、漂浮物、污染物或生物幼体可能随着流场移动。如果把空间切成许多小格子，就可以描述一个粒子从一个格子移动到另一个格子的概率。

=== [[Agent-based model]] 与[[观点动力学]] ===

=== [[Agent-based model]] 与[[观点动力学]] ===

代表文献：Banisch, Lima & Araújo, 2012, Agent Based Models and Opinion Dynamics as Markov Chains

代表文献：Banisch, Lima & Araújo, 2012, Agent Based Models and Opinion Dynamics as Markov Chains.<ref name=":app6">Banisch, Sven, Ricardo Lima, and Tanya Araújo. "Agent based models and opinion dynamics as Markov chains." Social Networks 34.4 (2012): 549-561.</ref>

[[Agent-based model]]是一种个体层面的建模方法。模型中有许多个体，每个个体按照简单规则行动或改变状态。例如，在观点动力学中，每个人可能支持观点 0 或观点 1，并受到邻居影响而改变观点。虽然个体规则简单，但所有个体组合起来以后，系统状态会非常多。

[[Agent-based model]]是一种个体层面的建模方法。模型中有许多个体，每个个体按照简单规则行动或改变状态。例如，在观点动力学中，每个人可能支持观点 0 或观点 1，并受到邻居影响而改变观点。虽然个体规则简单，但所有个体组合起来以后，系统状态会非常多。

=== [[排队网络]]与计算机系统 ===

=== [[排队网络]]与计算机系统 ===

代表文献：Song & Takahashi, 1991, Aggregate Approximation for Tandem Queueing Systems with Production Blocking；Gambin, Krzyżanowski & Pokarowski, 2008, Aggregation algorithms for perturbed Markov chains with applications to networks modeling

代表文献：Song & Takahashi, 1991, Aggregate Approximation for Tandem Queueing Systems with Production Blocking<ref name=":app6">Song, Yu, and Yukio Takahashi. "Aggregate approximation for tandem queueing systems with production blocking." Journal of the Operations Research Society of Japan 34.3 (1991): 329-353.</ref> ；Gambin, Krzyżanowski & Pokarowski, 2008, Aggregation algorithms for perturbed Markov chains with applications to networks modeling<ref name=":app6">Gambin, Anna, Piotr Krzyżanowski, and Piotr Pokarowski. "Aggregation algorithms for perturbed Markov chains with applications to networks modeling." SIAM Journal on Scientific Computing 31.1 (2008): 45-73.</ref>

排队系统和计算机系统经常可以用马尔科夫链建模。例如，一个工厂生产线有多个工位，每个工位前面可能有队列；一个服务器系统有多个任务等待处理。系统的完整状态需要记录每个队列有多少任务、每个服务器是否忙碌、是否发生阻塞等。

排队系统和计算机系统经常可以用马尔科夫链建模。例如，一个工厂生产线有多个工位，每个工位前面可能有队列；一个服务器系统有多个任务等待处理。系统的完整状态需要记录每个队列有多少任务、每个服务器是否忙碌、是否发生阻塞等。