更改

*'''抛物线分界线：'''

*'''抛物线分界线：'''

 

** <nowiki>曲线 [math]T^2-4\Delta=0[/math] 是Fig.1 迹—行列式平面 中区分实特征值与复特征值的临界线。由特征值公式 [math]\lambda_{1,2}=\dfrac{T\pm\sqrt{T^2-4\Delta}}{2}[/math] 可知，[math]T^2-4\Delta[/math] 的符号直接决定特征值的类型，因此该曲线将 [math]\Delta>0[/math] 的区域划分为结点区和焦点区。</nowiki>

*<nowiki>曲线 [math]T^2-4\Delta=0[/math] 是Fig.1 迹—行列式平面 中区分实特征值与复特征值的临界线。由特征值公式 [math]\lambda_{1,2}=\dfrac{T\pm\sqrt{T^2-4\Delta}}{2}[/math] 可知，[math]T^2-4\Delta[/math] 的符号直接决定特征值的类型，因此该曲线将 [math]\Delta>0[/math] 的区域划分为结点区和焦点区。</nowiki>

** 在抛物线'''外部'''，即 [math]\Delta>0[/math] 且 [math]T^2-4\Delta>0[/math] 时，系统具有两个同号的实特征值，对应于'''结点（Node）'''。当 [math]T<0[/math] 时，两个特征值均为负，轨迹沿不同特征方向趋近平衡点，形成稳定结点；当 [math]T>0[/math] 时，两个特征值均为正，轨迹从平衡点向外发散，形成不稳定结点。

 

** 在抛物线'''内部'''，即 [math]\Delta>0[/math] 且 [math]T^2-4\Delta<0[/math] 时，系统具有一对共轭复特征值，对应于具有旋转行为的'''焦点（Focus）'''。复特征值的虚部产生相平面中的旋转运动，而实部 [math]T/2[/math] 决定轨迹是收缩还是发散：当 [math]T<0[/math] 时，轨迹螺旋趋近平衡点，形成稳定焦点；当 [math]T>0[/math] 时，轨迹螺旋远离平衡点，形成不稳定焦点。

*在抛物线'''外部'''，即 [math]\Delta>0[/math] 且 [math]T^2-4\Delta>0[/math] 时，系统具有两个同号的实特征值，对应于'''结点（Node）'''。当 [math]T<0[/math] 时，两个特征值均为负，轨迹沿不同特征方向趋近平衡点，形成稳定结点；当 [math]T>0[/math] 时，两个特征值均为正，轨迹从平衡点向外发散，形成不稳定结点。

** 在分界曲线 [math]T^2-4\Delta=0[/math] 上，两个特征值合并为重实根 [math]\lambda_1=\lambda_2=T/2[/math]，系统处于结点与焦点之间的临界状态，通常对应星形结点或退化结点，其具体相图还取决于雅可比矩阵是否具有两个线性无关的特征向量。由此，抛物线不仅区分了轨迹是否具有旋转行为，也给出了结点与焦点之间的动力学分界，如图Fig.3 所示。

 

*在抛物线'''内部'''，即 [math]\Delta>0[/math] 且 [math]T^2-4\Delta<0[/math] 时，系统具有一对共轭复特征值，对应于具有旋转行为的'''焦点（Focus）'''。复特征值的虚部产生相平面中的旋转运动，而实部 [math]T/2[/math] 决定轨迹是收缩还是发散：当 [math]T<0[/math] 时，轨迹螺旋趋近平衡点，形成稳定焦点；当 [math]T>0[/math] 时，轨迹螺旋远离平衡点，形成不稳定焦点。

 

*在分界曲线 [math]T^2-4\Delta=0[/math] 上，两个特征值合并为重实根 [math]\lambda_1=\lambda_2=T/2[/math]，系统处于结点与焦点之间的临界状态，通常对应星形结点或退化结点，其具体相图还取决于雅可比矩阵是否具有两个线性无关的特征向量。由此，抛物线不仅区分了轨迹是否具有旋转行为，也给出了结点与焦点之间的动力学分界，如图Fig.3 所示。

[[文件:结点和焦点的相位图.png|替代=|无|缩略图|621x621px|Fig.3 结点与焦点的典型相图]]

[[文件:结点和焦点的相位图.png|替代=|无|缩略图|621x621px|Fig.3 结点与焦点的典型相图]]

*'''稳定与不稳定的分界：'''在Fig.1 迹—行列式平面 的右半平面，即 [math]\Delta>0[/math] 时，横轴 [math]T=0[/math] 构成稳定系统与不稳定系统之间的分界。这是因为两个特征值实部之和等于矩阵的迹 [math]T[/math]；当特征值为共轭复数时，它们的实部均为 [math]T/2[/math]，因此 [math]T[/math] 的符号直接决定平衡点附近的轨迹是收缩还是发散。

*'''稳定与不稳定的分界：'''在Fig.1 迹—行列式平面 的右半平面，即 [math]\Delta>0[/math] 时，横轴 [math]T=0[/math] 构成稳定系统与不稳定系统之间的分界。这是因为两个特征值实部之和等于矩阵的迹 [math]T[/math]；当特征值为共轭复数时，它们的实部均为 [math]T/2[/math]，因此 [math]T[/math] 的符号直接决定平衡点附近的轨迹是收缩还是发散。