50
个编辑
更改
术语规范：保留"基分布"译名，首次出现处加注（base distribution，变换起点的简单分布，通常取标准高斯，与目标分布相对）——会议共识为不换词、加英文注释；"普适逼近器"改为"通用逼近器（universal approximator）"并补全原句谓语（"……而仿射耦合流在一定的良好条件下则是"）；棋盘掩码、通道级掩码在首次出现处就地给出一句直觉解释，落实"术语首次出现均需解释"的原则。 结构更名：原"= 算法框架 ="一节更名"= 模型架构 ="，避免"框架"一词暗示 RealNVP 与标准化流平级。 历史渊源重写：整节由"两条主线"改为"需求—框架—实现"三层叙事——先讲生成建模的需求与变量替换公式这一数学工具（ICA、高斯化为先驱），再讲 Tabak & Vanden-Eijnden 2010 正式提出标准化流框架、Rezende & Mohamed 2015 推广该术语，最后讲 NICE、RealNVP 等具体实现；节末新增术语史段落：RealNVP 原文未自称"标准化流"，归类由 Kobyzev et al.（TPAMI 2021）与 Papamakarios
'''RealNVP'''（'''Real-valued Non-Volume Preserving'''，实值[[非体积保持]]变换）是一类基于[[标准化流]]（normalizing flows）的深度生成模型，由 Laurent Dinh、Jascha Sohl-Dickstein 与 Samy Bengio 于 2017 年提出<ref name="Dinh2017">{{cite journal|author1=Dinh L.|author2=Sohl-Dickstein J.|author3=Bengio S.|title=Density Estimation Using Real NVP|journal=International Conference on Learning Representations (ICLR)|year=2017|url=https://arxiv.org/abs/1605.08803}}</ref>。它的核心思想可以概括为：'''用一个完全可逆的神经网络，将复杂的数据分布逐步变换为简单的高斯分布。由于变换可逆，模型既可正向精确计算数据的概率密度，也可反向直接从高斯分布采样生成新数据。'''在[[标准化流]]的谱系中，RealNVP 属于[[耦合流]]（coupling flow）分支，与 [[NICE]]、[[Glow]] 同属一支，三者构成"[[加性耦合]]→仿射耦合→引入可逆 <math>1\times1</math> 卷积"的演进序列。RealNVP 的贡献也体现在两个层面：作为完整模型，它是标准化[[耦合流]]这一派的代表作；而其标志性的'''[[仿射耦合层]]'''又常被单独取出，作为通用可逆模块应用于标准化流之外的场合（见"应用"一节）。
'''RealNVP'''（'''Real-valued Non-Volume Preserving'''，实值[[非体积保持]]变换）是一类基于[[标准化流]]（normalizing flows）的深度生成模型，由 Laurent Dinh、Jascha Sohl-Dickstein 与 Samy Bengio 于 2017 年提出<ref name="Dinh2017">{{cite journal|author1=Dinh L.|author2=Sohl-Dickstein J.|author3=Bengio S.|title=Density Estimation Using Real NVP|journal=International Conference on Learning Representations (ICLR)|year=2017|url=https://arxiv.org/abs/1605.08803}}</ref>。它的核心思想可以概括为：'''用一个完全可逆的神经网络，将复杂的数据分布逐步变换为简单的高斯分布。由于变换可逆，模型既可正向精确计算数据的概率密度，也可反向直接从高斯分布采样生成新数据。'''
[[文件:Realnvp flow anim.gif|缩略图|332x332像素|上图示意 RealNVP 的正向与反向流程：正向通过复合可逆变换将数据分布映射为标准高斯分布；反向则从高斯分布采样并逐层逆变换还原为数据。]]
[[文件:Realnvp flow anim.gif|缩略图|332x332像素|上图示意 RealNVP 的正向与反向流程：正向通过复合可逆变换将数据分布映射为标准高斯分布；反向则从高斯分布采样并逐层逆变换还原为数据。]]
= 历史渊源 =
= 历史渊源 =
RealNVP 的历史可以按"需求—框架—实现"三层来梳理：先有[[密度估计]]的建模需求与[[变量替换公式]]这一数学工具，再有标准化流框架的正式提出，最后才有 NICE、RealNVP 等具体实现方案。
RealNVP 建立在早期标准化流工作之上，其发展有两条主线。
第一条主线是可逆变换的"分层堆叠"思想。从 1990 年代的独立成分分析（Independent Component Analysis，ICA），到 2000 年 Chen 与 Gopinath 的'''高斯化'''（Gaussianization）<ref name="Chen2000">{{cite conference|author1=Chen S. S.|author2=Gopinath R. A.|title=Gaussianization|conference=Advances in Neural Information Processing Systems (NIPS)|year=2000}}</ref>，研究者一直尝试用可逆变换将复杂数据"[[归一化]]"到简单分布。2010 年，Tabak 与 Vanden-Eijnden 正式提出了"标准化流"（normalizing flow）的数学框架——通过一系列可逆映射，让基分布像水流一样"流动"成目标分布<ref name="Tabak2010">{{cite journal|author1=Tabak E. G.|author2=Vanden-Eijnden E.|title=Density Estimation by Dual Ascent of the Log-Likelihood|journal=Communications in Mathematical Sciences|year=2010|volume=8|issue=1|pages=217-233}}</ref>。
'''框架'''：2010 年，Tabak 与 Vanden-Eijnden 正式提出了"标准化流"（normalizing flow）的数学框架<ref name="Tabak2010">{{cite journal|author1=Tabak E. G.|author2=Vanden-Eijnden E.|title=Density Estimation by Dual Ascent of the Log-Likelihood|journal=Communications in Mathematical Sciences|year=2010|volume=8|issue=1|pages=217-233}}</ref>：通过一系列可微可逆映射的复合，让'''[[基分布]]'''（base distribution，变换起点的简单分布，通常取标准高斯；与变换要逼近的目标分布相对）像水流一样"流动"成目标分布，密度则由变量替换公式精确给出。2015 年，Rezende 与 Mohamed 将这一框架引入[[变分推断]]<ref name="Rezende2015" />，"标准化流"一词由此流行。作为一种建模范式，标准化流只规定变换必须可逆、基分布必须指定、密度由变量替换公式计算，而不限定变换的具体结构——这为不同的实现方案留出了空间。
第二条主线是耦合层的发明与升级。2014 年，Dinh 等人提出了 '''NICE'''（Non-linear Independent Components Estimation），首次使深度可逆网络可训练<ref name="NICE2014">{{cite journal|author1=Dinh L.|author2=Krueger D.|author3=Bengio Y.|title=NICE: Non-linear Independent Components Estimation|journal=ICLR 2015 Workshop|year=2015|url=https://arxiv.org/abs/1410.8516}}</ref>。NICE 的关键创新是'''[[加性耦合层]]'''：将输入分成两半，其中一半直接保持不变，另一半则加上一个以第一半为条件的神经网络输出。由于该变换的雅可比行列式恒为 1，它'''保持体积'''（volume preserving），但表达能力因此受限。
'''实现'''：最早可训练的深度实现是 2014 年 Dinh 等人提出的 '''NICE'''（Non-linear Independent Components Estimation）<ref name="NICE2014">{{cite journal|author1=Dinh L.|author2=Krueger D.|author3=Bengio Y.|title=NICE: Non-linear Independent Components Estimation|journal=ICLR 2015 Workshop|year=2015|url=https://arxiv.org/abs/1410.8516}}</ref>。NICE 的关键创新是'''[[加性耦合层]]'''：将输入分成两半，其中一半直接保持不变，另一半则加上一个以第一半为条件的神经网络输出。由于该变换的雅可比行列式恒为 1，它'''保持体积'''（volume preserving），但表达能力因此受限。
2017 年的 RealNVP 将加性耦合扩展为仿射耦合，即以前一半变量为条件，对后一半变量先进行缩放再进行平移。这一改动使变换不再保持体积（non-volume preserving），增强了模型的表达能力，同时保留了计算上的便利性。后续的理论工作（Draxler et al., 2024）证明：[[体积保持]]的流'''不是'''分布的普适逼近器，而仿射耦合流在良好条件下是<ref name="Draxler2024">{{cite journal|author1=Draxler F.|author2=Wahl S.|author3=Schnörr C.|author4=Köthe U.|title=On the Universality of Volume-Preserving and Coupling-Based Normalizing Flows|journal=Proceedings of the 41st International Conference on Machine Learning (ICML)|year=2024|publisher=PMLR 235}}</ref>。这从理论上解释了 RealNVP 相对于 NICE 的优势。
= 算法框架 =
RealNVP 是一类[[标准化流]]：它将一系列可逆映射 <math>f_1, \dots, f_n</math> 复合为整体变换 <math>f = f_n \circ \cdots \circ f_1</math>，从而将数据 <math>\mathbf{x}</math> 映射到标准正态分布 <math>\mathbf{z} = f(\mathbf{x}) \sim \mathcal{N}(0, \mathbf{I})</math>。由于可逆性，生成样本时只需从正态分布采样 <math>\mathbf{z}</math>，再通过逆映射 <math>\mathbf{x} = f^{-1}(\mathbf{z})</math> 还原为数据。每一层变换的[[雅可比行列式]]都能高效解析计算，因此整体[[对数似然]] <math>\log p_X(\mathbf{x})</math> 可直接求出，无需借助变分下界或对抗训练。
RealNVP 把若干可逆模块按顺序堆叠，形成从数据空间到潜在空间的完整映射。其网络主体由四个功能模块组成：'''[[仿射耦合层]]'''（affine coupling layer）负责可逆的特征变换，每个耦合层输出后接'''[[批量归一化]]'''（batch normalization）以稳定训练；'''[[压缩]]'''（squeeze）负责降低空间分辨率并把信息重排到通道；'''[[变量分解]]'''（factor out）负责在每个尺度末尾抽取变量作为潜在变量。其中，仿射耦合层通过空间[[棋盘掩码]]（checkerboard masking）与[[通道级掩码]]（channel-wise masking）实现，二者交替使用。
RealNVP 是一类[[标准化流]]。标准化流是一类通过[[最大似然]]来估计分布的模型，其构造包含三个要素：一个可微的可逆映射、一个指定的基分布，以及由[[变量替换公式]]给出的精确密度。具体地，RealNVP 将一系列可逆映射 <math>f_1, \dots, f_n</math> 复合为整体变换 <math>f = f_n \circ \cdots \circ f_1</math>，从而将数据 <math>\mathbf{x}</math> 映射到基分布——通常取标准正态——<math>\mathbf{z} = f(\mathbf{x}) \sim \mathcal{N}(0, \mathbf{I})</math>。每一层变换的[[雅可比行列式]]都能高效解析计算，因此整体[[对数似然]] <math>\log p_X(\mathbf{x})</math> 可直接求出，无需借助变分下界或对抗训练。由于可逆性，生成样本时只需从正态分布采样 <math>\mathbf{z}</math>，再通过逆映射 <math>\mathbf{x} = f^{-1}(\mathbf{z})</math> 还原为数据。
RealNVP 的多尺度架构如下图所示。输入图像 <math>\mathbf{x}</math> 首先进入第 1 尺度。每个非末尺度内部依次经过 3 个空间棋盘掩码的耦合层（每个耦合层输出后接批量[[归一化]]）、压缩块、再 3 个通道级掩码的耦合层（同样每个后接批量归一化），最后进行变量分解；末尺度则只经过 4 个空间棋盘掩码耦合层（同样每个后接批量归一化），随后把全部变量抽出作为 <math>\mathbf{z}^{(L)}</math>，不再保留传递变量。非末尺度的变量分解把当前特征一分为二：一半作为 <math>\mathbf{z}^{(i)}</math> 抽出，另一半 <math>\mathbf{h}^{(i)}</math> 继续传入下一尺度。最终把每个 <math>\mathbf{z}^{(i)}</math> 展平为向量后按顺序拼接成完整潜在变量 <math>\mathbf{z}</math>。虽然各 <math>\mathbf{z}^{(i)}</math> 的展平长度不同（依次为 <math>HWC/2, HWC/4, \dots, HWC/2^{L-1}</math>，其中末尺度因全部抽出而与其前一尺度等长），但它们的总和恰好等于输入维度 <math>HWC</math>，因此整体变换保持维度不变。这种分层设计的意图是：早期尺度保留高分辨率的局部细节，后期尺度处理低分辨率的全局结构，并通过逐步分解减少后续层的计算量。
由于每个压缩和分解步骤都要对空间或通道维度进行对半划分，各尺度的空间尺寸与通道数都必须是偶数；实际应用中通常把图像尺寸调整为偶数，或通过填充、裁剪等预处理满足该条件。
由于每个压缩和分解步骤都要对空间或通道维度进行对半划分，各尺度的空间尺寸与通道数都必须是偶数；实际应用中通常把图像尺寸调整为偶数，或通过填充、裁剪等预处理满足该条件。
[[文件:realnvp_multiscale_v2.png|缩略图|RealNVP 多尺度分层架构示意图。每个尺度（Scale）内数据自上而下流动，尺度间自左向右推进。图中 Coupling 即正文的仿射耦合层（括号内 checkerboard、channel-wise 分别为棋盘掩码与通道级掩码），块内"→ BN"表示每个耦合层输出后接批量归一化；Squeeze 为压缩，Factor Out 为变量分解，Concatenation 为拼接；h⁽ⁱ⁾、z⁽ⁱ⁾ 与正文符号一致。|替代=|848x848px|居中]]
[[文件:Realnvp multiscale.svg|缩略图|RealNVP 多尺度分层架构示意图。批量归一化（Batch Normalization，BN）为图中归一化操作的简写。|替代=|848x848px|居中]]
== [[仿射耦合层]]：可逆的"条件变形" ==
== [[仿射耦合层]]：可逆的"条件变形" ==
下图给出了仿射耦合层的前向流程。图中的耦合层块即仿射耦合层，它是 RealNVP 的基本可逆变换单元。[[文件:仿射耦合.png|缩略图|仿射耦合层示意图：正向（从左到右）将输入分块并变换，反向（从右到左）逐块还原。|替代=|626x626px]]{{NumBlk|:|
<math>
<math>
\begin{cases}
\begin{cases}
\mathbf{y}_1 = \mathbf{x}_1 \\[6pt]
\mathbf{y}_{1:d} = \mathbf{x}_{1:d} \\[6pt]
\mathbf{y}_2 = \mathbf{x}_2 \odot \exp\!\bigl(\mathbf{s}(\mathbf{x}_1)\bigr) + \mathbf{t}(\mathbf{x}_1)
\mathbf{y}_{d+1:D} = \mathbf{x}_{d+1:D} \odot \exp\!\bigl(\mathbf{s}(\mathbf{x}_{1:d})\bigr) + \mathbf{t}(\mathbf{x}_{1:d})
\end{cases}
\end{cases}
</math>
</math>
|{{EquationRef|1}}}}这里 <math>\mathbf{s}</math>（scale，缩放）和 <math>\mathbf{t}</math>（translation，平移）是两个深度神经网络（可以是任意结构；图像任务中通常用[[卷积神经网络]]（Convolutional Neural Network，CNN））。<math>\odot</math> 为逐元素乘积。其中 <math>\mathbf{x}_1</math>、<math>\mathbf{x}_2</math> 并非第 1、2 个坐标，而是由掩码划分出的两个'''子向量'''：<math>\mathbf{x}_1</math> 是保持不变的被动部分，<math>\mathbf{x}_2</math> 是被变换的主动部分。通道级掩码下二者即前、后两半通道，棋盘掩码下则是按坐标奇偶性分出的两组像素；具体规则见下文"两种掩码分区模式"。由于 <math>\mathbf{s}</math> 和 <math>\mathbf{t}</math> 的输入只来自不变的那一半，输出只作用在可变的那一半，整个变换的[[雅可比矩阵]]是下三角块结构，行列式即为对角线元素的乘积——一般的 <math>D</math> 维矩阵求行列式需要 <math>O(D^3)</math> 的计算量，而这里只需把对角元相乘，[[计算复杂度]]降为 <math>O(D)</math>。此外，逆变换为：
|{{EquationRef|1}}}}这里 <math>\mathbf{s}</math>（scale，缩放）和 <math>\mathbf{t}</math>（translation，平移）是两个深度神经网络（可以是任意结构；图像任务中通常用[[卷积神经网络]]（Convolutional Neural Network，CNN））。<math>\odot</math> 为逐元素乘积。由于 <math>\mathbf{s}</math> 和 <math>\mathbf{t}</math> 的输入只来自不变的那一半，输出只作用在可变的那一半，整个变换的[[雅可比矩阵]]是下三角块结构，行列式即为对角线元素的乘积——一般的 <math>D</math> 维矩阵求行列式需要 <math>O(D^3)</math> 的计算量，而这里只需把对角元相乘，[[计算复杂度]]降为 <math>O(D)</math>。此外，逆变换为：
{{NumBlk|:|
{{NumBlk|:|
<math>
<math>
\begin{cases}
\begin{cases}
\mathbf{x}_1 = \mathbf{y}_1 \\[6pt]
\mathbf{x}_{1:d} = \mathbf{y}_{1:d} \\[6pt]
\mathbf{x}_2 = \bigl(\mathbf{y}_2 - \mathbf{t}(\mathbf{y}_1)\bigr) \odot \exp\!\bigl(-\mathbf{s}(\mathbf{y}_1)\bigr)
\mathbf{x}_{d+1:D} = \bigl(\mathbf{y}_{d+1:D} - \mathbf{t}(\mathbf{y}_{1:d})\bigr) \odot \exp\!\bigl(-\mathbf{s}(\mathbf{y}_{1:d})\bigr)
\end{cases}
\end{cases}
</math>
</math>
其中 <math>\tilde{\boldsymbol{\mu}}</math>、<math>\tilde{\boldsymbol{\sigma}}</math> 为均值与标准差——训练时按当前批次估计，推理时改用滑动平均（原因见下文）。由于 BN 对每个维度独立地缩放和平移，它本身也是一个可逆变换：其雅可比矩阵为对角阵，[[雅可比行列式]]即各维度缩放因子的乘积，可直接加入[[对数似然]]——这使 BN 可以像耦合层一样作为流中的一层。引入 BN 主要是为了稳定深层训练：它抑制了由缩放参数 <math>\exp(\mathbf{s})</math> 引起的数值爆炸，使梯度稳定传播。使用 BN 有一个容易忽略的细节：训练时均值与方差是从当前这一批样本中估计的，因此单个样本的输出会依赖同批次的其他样本——此时的 BN 并不是严格意义上逐样本的可逆变换，其行列式也与整个批量耦合。只有在推理阶段改用训练过程中滑动平均得到的固定统计量，BN 才成为逐样本的、严格可逆的仿射变换，其行列式才能精确计入[[对数似然]]。换言之，用训练好的模型评估密度时若忘了做这一切换，同一个输入会因同批样本不同而得到不同的密度值，结果既不可复现也不正确。
其中 <math>\tilde{\boldsymbol{\mu}}</math>、<math>\tilde{\boldsymbol{\sigma}}</math> 为均值与标准差——训练时按当前批次估计，推理时改用滑动平均（原因见下文）。由于 BN 对每个维度独立地缩放和平移，它本身也是一个可逆变换：其雅可比矩阵为对角阵，[[雅可比行列式]]即各维度缩放因子的乘积，可直接加入[[对数似然]]——这使 BN 可以像耦合层一样作为流中的一层。引入 BN 主要是为了稳定深层训练：它抑制了由缩放参数 <math>\exp(\mathbf{s})</math> 引起的数值爆炸，使梯度稳定传播。使用 BN 有一个容易忽略的细节：训练时均值与方差是从当前这一批样本中估计的，因此单个样本的输出会依赖同批次的其他样本——此时的 BN 并不是严格意义上逐样本的可逆变换，其行列式也与整个批量耦合。只有在推理阶段改用训练过程中滑动平均得到的固定统计量，BN 才成为逐样本的、严格可逆的仿射变换，其行列式才能精确计入对数似然。换言之，用训练好的模型评估密度时若忘了做这一切换，同一个输入会因同批样本不同而得到不同的密度值，结果既不可复现也不正确。
= 数学原理 =
= 数学原理 =
RealNVP 的数学原理可分为两个层次。其一是[[标准化流]]的'''通用框架'''：[[变量替换公式]]给出精确似然的表达式，[[最大似然估计]]提供直接的训练目标，无需近似下界或辅助网络——这些结论对一切流模型成立，并非 RealNVP 特有。其二是 RealNVP 的'''特有设计'''：通用框架要求变换可逆且雅可比行列式可算，[[仿射耦合层]]的[[三角雅可比]]结构正是为满足这一要求而构造的，它使行列式计算开销与维度成线性关系，从而保证可处理性。本节先介绍通用框架，再阐述 RealNVP 的特化实现，进而比较[[加性耦合]]与仿射耦合在[[体积保持]]上的差异，最后讨论训练目标中两项各自的含义与实际训练配置。
RealNVP 的数学原理可分为两个层次。其一是[[标准化流]]的'''通用框架'''：[[变量替换公式]]给出精确似然的表达式，[[最大似然估计]]提供直接的训练目标，无需近似下界或辅助网络——这些结论对一切流模型成立，并非 RealNVP 特有。其二是 RealNVP 的'''特有设计'''：通用框架要求变换可逆且雅可比行列式可算，[[仿射耦合层]]的三角雅可比结构正是为满足这一要求而构造的，它使行列式计算开销与维度成线性关系，从而保证可处理性。本节先介绍通用框架，再阐述 RealNVP 的特化实现，进而比较[[加性耦合]]与仿射耦合在体积保持上的差异，最后讨论训练目标中两项各自的含义与实际训练配置。
== [[标准化流]]与[[变量替换公式]] ==
== [[标准化流]]与[[变量替换公式]] ==
== 仿射耦合的雅可比行列式与可逆性 ==
== 仿射耦合的雅可比行列式与可逆性 ==
上一小节的结论适用于一切标准化流。RealNVP 要回答的问题是：如何构造一个既完全可逆、又满足行列式易算的变换？其答案就是仿射耦合层——它对被动半 <math>\mathbf{x}_1</math> 进行恒等映射，对主动半 <math>\mathbf{x}_2</math> 进行仿射映射。记被动半的维度为 <math>d</math>（主动半的维度为 <math>D-d</math>），则雅可比矩阵具有分块三角结构：
上一小节的结论适用于一切标准化流。RealNVP 要回答的问题是：如何构造一个既完全可逆、又满足行列式易算的变换？其答案就是仿射耦合层——它对前 <math>d</math> 维进行恒等映射，对后 <math>D-d</math> 维进行仿射映射，因而雅可比矩阵具有分块三角结构：
\begin{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\mathbf{I}_d & \mathbf{0} \\[8pt]
\mathbf{I}_d & \mathbf{0} \\[8pt]
\dfrac{\partial \mathbf{y}_2}{\partial \mathbf{x}_1^\top} & \operatorname{diag}\!\bigl(\exp[\mathbf{s}(\mathbf{x}_1)]\bigr)
\dfrac{\partial \mathbf{y}_{d+1:D}}{\partial \mathbf{x}_{1:d}^\top} & \operatorname{diag}\!\bigl(\exp[\mathbf{s}(\mathbf{x}_{1:d})]\bigr)
\end{bmatrix}
\end{bmatrix}
</math>
</math>
{{NumBlk|:|
{{NumBlk|:|
<math>
<math>
\det\!\left(\frac{\partial \mathbf{y}}{\partial \mathbf{x}^\top}\right) = \exp\!\left(\sum_{j=1}^{D-d} s_j(\mathbf{x}_1)\right)
\det\!\left(\frac{\partial \mathbf{y}}{\partial \mathbf{x}^\top}\right) = \exp\!\left(\sum_{j=1}^{D-d} s_j(\mathbf{x}_{1:d})\right)
</math>
</math>
|{{EquationRef|5}}}}
|{{EquationRef|5}}}}
上述性质是 RealNVP 可处理性的关键：计算行列式不需要对神经网络 <math>\mathbf{s}</math> 或 <math>\mathbf{t}</math> 求导。因此 <math>\mathbf{s}</math> 和 <math>\mathbf{t}</math> 可以是任意复杂的深度网络（如深层卷积网络、[[残差网络]]），而不会破坏密度评估的可处理性。多个耦合层复合时，行列式相乘、逆变换按相反顺序复合，性质仍然保持。
上述性质是 RealNVP 可处理性的关键：计算行列式不需要对神经网络 <math>\mathbf{s}</math> 或 <math>\mathbf{t}</math> 求导。因此 <math>\mathbf{s}</math> 和 <math>\mathbf{t}</math> 可以是任意复杂的深度网络（如深层卷积网络、残差网络），而不会破坏密度评估的可处理性。多个耦合层复合时，行列式相乘、逆变换按相反顺序复合，性质仍然保持。
对公式 (1) 做简单的代数移项，即可得到公式 (2) 给出的逆变换。无需对 <math>\mathbf{s}</math> 或 <math>\mathbf{t}</math> 求逆，只需按逆变换公式进行减法和除法即可。因此'''编码（求密度）和解码（采样）同样高效'''。
对公式 (1) 做简单的代数移项，即可得到公式 (2) 给出的逆变换。无需对 <math>\mathbf{s}</math> 或 <math>\mathbf{t}</math> 求逆，只需按逆变换公式进行减法和除法即可。因此'''编码（求密度）和解码（采样）同样高效'''。
== 损失函数与[[最大似然训练]] ==
== 损失函数与[[最大似然训练]] ==
RealNVP 通过最大化数据对数似然来训练（这也是标准化流的通用训练方式），等价于最小化数据分布与模型分布的前向 KL 散度（Kullback-Leibler divergence，KL）：
RealNVP 通过最大化数据[[对数似然]]来训练（这也是[[标准化流]]的通用训练方式），等价于最小化数据分布与模型分布的前向 [[KL 散度]]（Kullback-Leibler divergence，KL）：
{{NumBlk|:|
{{NumBlk|:|
|{{EquationRef|6}}}}
|{{EquationRef|6}}}}
对于训练集 <math>\{\mathbf{x}^{(i)}\}_{i=1}^N</math>，使用蒙特卡洛近似：
对于训练集 <math>\{\mathbf{x}^{(i)}\}_{i=1}^N</math>，使用[[蒙特卡洛近似]]：
<math>
<math>
损失函数包含两项：
损失函数包含两项：
* '''先验项''' <math>\log p_Z(f(\mathbf{x}))</math>：促使编码后的分布整体逼近标准高斯，相当于对潜在空间的正则化。
* '''[[先验项]]''' <math>\log p_Z(f(\mathbf{x}))</math>：促使编码后的分布整体逼近[[标准高斯]]，相当于对[[潜在空间]]的[[正则化]]。
* '''行列式项'''：增大体积膨胀会提高似然，因此该项处处偏好扩张，与先验项的收缩压力相平衡——净效果是数据密集处扩张、稀疏处收缩，这与[[信息论]]中将码空间分配给高概率事件的原则一致。
* '''[[行列式项]]'''：增大[[体积膨胀]]会提高似然，因此该项处处偏好扩张，与先验项的收缩压力相平衡——净效果是数据密集处扩张、稀疏处收缩，这与[[信息论]]中将码空间分配给高概率事件的原则一致。
从对偶视角看（Papamakarios et al., 2021）<ref name="Papamakarios2021">{{cite journal|author1=Papamakarios G.|author2=Nalisnick E.|author3=Rezende D. J.|author4=Mohamed S.|author5=Lakshminarayanan B.|title=Normalizing Flows for Probabilistic Modeling and Inference|journal=Journal of Machine Learning Research|year=2021|volume=22|issue=57|pages=1-64}}</ref>：在数据上最小化前向 KL，等价于在潜在空间中最小化推前分布（即数据分布经 <math>f</math> 映射到潜在空间后得到的分布）与先验之间的反向 KL。
从对偶视角看（Papamakarios et al., 2021）<ref name="Papamakarios2021">{{cite journal|author1=Papamakarios G.|author2=Nalisnick E.|author3=Rezende D. J.|author4=Mohamed S.|author5=Lakshminarayanan B.|title=Normalizing Flows for Probabilistic Modeling and Inference|journal=Journal of Machine Learning Research|year=2021|volume=22|issue=57|pages=1-64}}</ref>：在数据上最小化前向 KL，等价于在潜在空间中最小化[[推前分布]]（即数据分布经 <math>f</math> 映射到潜在空间后得到的分布）与先验之间的反向 KL。
'''实际训练配置'''：[[自适应矩估计]]（Adaptive Moment Estimation，Adam）优化器，权重衰减 <math>5\times10^{-5}</math>，批量大小 64，先验为标准高斯。图像数据通常先经 logit 变换 <math>\operatorname{logit}(\alpha + (1-\alpha)\mathbf{x}/256)</math>（原论文取 <math>\alpha = 0.05</math>）处理，以缓解像素取值集中在 0 和 255 两个边界带来的问题。
'''实际训练配置'''：[[自适应矩估计]]（Adaptive Moment Estimation，Adam）优化器，[[权重衰减]] <math>5\times10^{-5}</math>，[[批量大小]] 64，先验为标准高斯。图像数据通常先经 logit 变换 <math>\operatorname{logit}(\alpha + (1-\alpha)\mathbf{x}/256)</math>（原论文取 <math>\alpha = 0.05</math>）处理，以缓解像素取值集中在 0 和 255 两个边界带来的问题。
= 应用 =
= 应用 =
== 自然图像[[密度估计]]与生成 ==
== 自然图像[[密度估计]]与生成 ==
RealNVP 最直接的应用场景是连续高维数据的密度估计与无条件生成<ref name="Dinh2017" />。在图像生成任务中，模型一次性学习整个图像的联合分布，然后直接从标准高斯分布采样并通过逆映射得到新图像。
RealNVP 最直接的应用场景是连续高维数据的密度估计与无条件生成<ref name="Dinh2017" />。在图像生成任务中，模型一次性学习整个图像的联合分布，然后直接从标准高斯分布采样并通过逆映射得到新图像。
在 CelebA 人脸生成任务中，RealNVP 能够生成全局连贯、五官清晰的人脸样本（见下图）。与[[变分自编码器]]（Variational Autoencoder，VAE）相比，RealNVP 不依赖固定的重建损失（如[[均方误差]]（Mean Squared Error，MSE）），因此不会过度平滑高频细节；与 PixelRNN 等[[自回归模型]]相比，RealNVP 的采样在维度上完全并行，速度更快。
在 CelebA 人脸生成任务中，RealNVP 能够生成全局连贯、五官清晰的人脸样本（见下图）。与[[变分自编码器]]（Variational Autoencoder，VAE）相比，RealNVP 不依赖固定的重建损失（如均方误差（Mean Squared Error，MSE）），因此不会过度平滑高频细节；与 PixelRNN 等[[自回归模型]]相比，RealNVP 的采样在维度上完全并行，速度更快。
[[文件:realnvp_celeba_generation.png|缩略图|RealNVP 在 CelebA 上生成的人脸样本。|264x264px|链接=Special:FilePath/Realnvp_celeba_generation.png|替代=|居中]]
[[文件:realnvp_celeba_generation.png|缩略图|RealNVP 在 CelebA 上生成的人脸样本。|264x264px|链接=Special:FilePath/Realnvp_celeba_generation.png|替代=|居中]]
== [[异常检测]] ==
== [[异常检测]] ==
RealNVP 能够给出数据的精确似然，这使它天然适合无监督[[异常检测]]：在仅含正常样本的数据上训练流模型，测试时将似然显著低于正常水平的样本判为异常。也可以把流与重建类模型结合起来，综合似然与[[重建误差]]构造异常分数——下文的 [[AE-FLOW]] 即属此类。医学影像领域尤其典型——正常扫描数量庞大，而病变样本稀少且难以标注。AE-FLOW 将自编码器与以 RealNVP [[仿射耦合层]]为核心的[[标准化流]]瓶颈相结合，在胸部 X 光、光学相干断层扫描、皮肤镜与脑部核磁共振等多种医学影像数据上检测异常。模型同时利用重建误差与流模型给出的[[负对数似然]]构造异常分数：正常样本能被准确重建并获得较高似然，而病变区域会产生高重建残差与低似然<ref name="AEFLOW2023">{{cite journal|author1=Zhao Y.|author2=Ding Q.|author3=Zhang X.|title=AE-FLOW: Autoencoders with Normalizing Flows for Medical Images Anomaly Detection|journal=International Conference on Learning Representations (ICLR)|year=2023|url=https://openreview.net/forum?id=9OmCr1q54Z}}</ref>。
RealNVP 能够给出数据的精确似然，这使它天然适合无监督异常检测：在仅含正常样本的数据上训练流模型，测试时将似然显著低于正常水平的样本判为异常。也可以把流与重建类模型结合起来，综合似然与[[重建误差]]构造异常分数——下文的 AE-FLOW 即属此类。医学影像领域尤其典型——正常扫描数量庞大，而病变样本稀少且难以标注。AE-FLOW 将自编码器与以 RealNVP [[仿射耦合层]]为核心的[[标准化流]]瓶颈相结合，在胸部 X 光、光学相干断层扫描、皮肤镜与脑部核磁共振等多种医学影像数据上检测异常。模型同时利用重建误差与流模型给出的[[负对数似然]]构造异常分数：正常样本能被准确重建并获得较高似然，而病变区域会产生高重建残差与低似然<ref name="AEFLOW2023">{{cite journal|author1=Zhao Y.|author2=Ding Q.|author3=Zhang X.|title=AE-FLOW: Autoencoders with Normalizing Flows for Medical Images Anomaly Detection|journal=International Conference on Learning Representations (ICLR)|year=2023|url=https://openreview.net/forum?id=9OmCr1q54Z}}</ref>。
== 重建设置中的推断 ==
== 重建设置中的推断 ==
由于编码器 <math>f</math> 与解码器 <math>g</math> 互为逆映射（<math>\mathbf{x} = g(f(\mathbf{x}))</math>），RealNVP 天然适合[[图像修复]]、去噪、着色等重建设置。以[[图像修复]]为例：已知像素 <math>\mathbf{x}_O</math> 固定，对缺失像素 <math>\mathbf{x}_H</math> 用梯度上升最大化 <math>\log p_X(\mathbf{x}_O, \mathbf{x}_H)</math>，并加入少量高斯噪声扰动：
由于编码器 <math>f</math> 与解码器 <math>g</math> 互为逆映射（<math>\mathbf{x} = g(f(\mathbf{x}))</math>），RealNVP 天然适合[[图像修复]]、去噪、着色等重建设置。以图像修复为例：已知像素 <math>\mathbf{x}_O</math> 固定，对缺失像素 <math>\mathbf{x}_H</math> 用梯度上升最大化 <math>\log p_X(\mathbf{x}_O, \mathbf{x}_H)</math>，并加入少量高斯噪声扰动：
== 在 [[NIS]]/[[NIS+]] 因果[[涌现]]框架中的应用 ==
== 在 [[NIS]]/[[NIS+]] 因果[[涌现]]框架中的应用 ==
在神经信息挤压器（Neural Information Squeezer，NIS）及其扩展 NIS+（Neural Information Squeezer Plus）中，RealNVP 以[[可逆神经网络]]（Invertible Neural Networks，INN）作为编码器，实现微观状态到宏观状态的可逆[[粗粒化]]。粗粒化[[策略]]被建模为两阶段过程：
# '''无损变换'''：由 RealNVP 耦合层堆叠构成的 INN <math>\psi_\alpha: \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}^p</math> 将微观状态 <math>\mathbf{x}_t</math> 映射到等维潜在空间 <math>\mathbf{x}'_t</math>。'''该阶段信息不丢失'''。
# '''无损变换'''：由 RealNVP 耦合层堆叠构成的 INN <math>\psi_\alpha: \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}^p</math> 将微观状态 <math>\mathbf{x}_t</math> 映射到等维潜在空间 <math>\mathbf{x}'_t</math>。'''该阶段信息不丢失'''。
[[文件:NIS+odd.png|缩略图|NIS/NIS+ 框架架构：RealNVP 的可逆神经网络（INN）实现编码器与解码器（图中记作 φ 与 φ†，分别对应正文中的 <math>\psi_\alpha</math> 与 <math>\psi_\alpha^{-1}</math>），信息丢弃与 EI 最大化在宏观动力学空间完成。|替代=|812x812px|居中]]
[[文件:NIS+odd.png|缩略图|NIS/NIS+ 框架架构：RealNVP 的可逆神经网络（INN）实现编码器与解码器（图中记作 φ 与 φ†，分别对应正文中的 <math>\psi_\alpha</math> 与 <math>\psi_\alpha^{-1}</math>），信息丢弃与 EI 最大化在宏观动力学空间完成。|替代=|812x812px|居中]]
NIS 论文给出选用 RealNVP 的三点依据<ref name="NIS2023" />：
NIS 论文给出选用 RealNVP 的三点依据<ref name="NIS2022">{{cite journal|author1=Zhang J.|author2=Liu K.|title=Neural Information Squeezer for Causal Emergence|journal=Entropy|year=2022|volume=25|issue=1|page=26}}</ref>：
# '''精确可逆性'''：微观到潜在的变换不损失信息，信息丢弃量 <math>p-q</math> 成为显式可控的超参数。
# '''精确可逆性'''：微观到潜在的变换不损失信息，信息丢弃量 <math>p-q</math> 成为显式可控的超参数。
# '''参数共享'''：<math>\psi_\alpha</math> 与 <math>\psi_\alpha^{-1}</math> 共用一套参数，显著压缩模型规模。
# '''参数共享'''：<math>\psi_\alpha</math> 与 <math>\psi_\alpha^{-1}</math> 共用一套参数，显著压缩模型规模。
# '''行列式可解析'''：三角雅可比结构使[[有效信息]]（[[Effective Information]]，[[EI]]）上界和最优宏观维度 <math>q</math> 的存在性等核心定理得以严格推导。
# '''行列式可解析'''：三角雅可比结构使[[有效信息]]（[[Effective Information]]，[[EI]]）上界和最优宏观维度 <math>q</math> 的存在性等核心定理得以严格推导。
RealNVP作为NIS+中可逆[[表示学习]]模块，使粗粒化映射与反粗粒化映射共享参数，降低了模型复杂度，同时为[[有效信息]]最大化提供了可分析的数学框架。此外，基于可逆粗粒化结构构建的encoder具有通用逼近性质，能够表达不同[[复杂系统]]中的粗粒化映射。<ref name="NISPlus2025">{{cite journal|author1=Yang M.|author2=Wang Z.|author3=Liu K.|author4=Rong Y.|author5=Yuan B.|author6=Zhang J.|title=Finding Emergence in Data by Maximizing Effective Information|journal=National Science Review|year=2025|volume=12|issue=1|page=nwae279}}</ref>。
RealNVP作为NIS+中可逆表示学习模块，使粗粒化映射与反粗粒化映射共享参数，降低了模型复杂度，同时为有效信息最大化提供了可分析的数学框架。此外，基于可逆粗粒化结构构建的encoder具有通用逼近性质，能够表达不同复杂系统中的粗粒化映射。<ref name="NISPlus2025">{{cite journal|author1=Yang M.|author2=Wang Z.|author3=Liu K.|author4=Rong Y.|author5=Yuan B.|author6=Zhang J.|title=Finding Emergence in Data by Maximizing Effective Information|journal=National Science Review|year=2025|volume=12|issue=1|page=nwae279}}</ref>。
* '''语义[[潜在空间]]'''：由于潜在分布是简单的标准高斯、且映射光滑可逆，在潜在空间中做插值等简单操作，就对应图像上有语义的连续变化（如人脸姿态、表情的渐变），适合表示学习与属性操控<ref name="Dinh2017" />。
* '''语义[[潜在空间]]'''：由于潜在分布是简单的标准高斯、且映射光滑可逆，在潜在空间中做插值等简单操作，就对应图像上有语义的连续变化（如人脸姿态、表情的渐变），适合表示学习与属性操控<ref name="Dinh2017" />。
* '''架构灵活'''：[[耦合层]]只要求 <math>\mathbf{s}</math>、<math>\mathbf{t}</math> 两个网络给出缩放和平移量，对它们的内部结构没有任何限制，可以是任意深度的[[卷积神经网络]]（Convolutional Neural Network，CNN）或[[残差网络]]（Residual Network，ResNet）。提升表达能力可以直接借用主流的深层网络设计，而无须改动可逆框架本身。
* '''架构灵活'''：[[耦合层]]只要求 <math>\mathbf{s}</math>、<math>\mathbf{t}</math> 两个网络给出缩放和平移量，对它们的内部结构没有任何限制，可以是任意深度的[[卷积神经网络]]（Convolutional Neural Network，CNN）或[[残差网络]]（Residual Network，ResNet）。提升表达能力可以直接借用主流的深层网络设计，而无须改动可逆框架本身。
* '''综合多种模型特性'''：RealNVP 同时具备了此前难以兼得的能力——[[自回归模型]]的精确似然、VAE 的一步采样，以及不依赖固定重建损失的生成质量。
* '''综合多种模型特性'''：RealNVP 同时具备了此前难以兼得的能力——自回归模型的精确似然、VAE 的一步采样，以及不依赖固定重建损失的生成质量。
== 局限 ==
== 局限 ==
* '''似然性能未达最优'''：RealNVP 对数据分布的拟合精度仍略逊于 PixelRNN 等自回归模型<ref name="Dinh2017" />。在以拟合精度为核心的任务（如[[密度估计]]、[[数据压缩]]）上，这是它的相对劣势——尽管它以并行采样换来了远快于对手的生成速度。
* '''似然性能未达最优'''：RealNVP 对数据分布的拟合精度仍略逊于 PixelRNN 等自回归模型<ref name="Dinh2017" />。在以拟合精度为核心的任务（如[[密度估计]]、[[数据压缩]]）上，这是它的相对劣势——尽管它以并行采样换来了远快于对手的生成速度。
* '''维度保持约束'''：可逆变换要求输入与输出同维，因此 RealNVP 不能像自编码器那样把高维图像压缩成低维向量——潜在变量的总维度始终与输入相同。[[多尺度架构]]中的变量分解并不改变这一点，它只是让后续层处理更小的特征图，并把潜在变量分配到不同尺度。
* '''维度保持约束'''：可逆变换要求输入与输出同维，因此 RealNVP 不能像自编码器那样把高维图像压缩成低维向量——潜在变量的总维度始终与输入相同。[[多尺度架构]]中的变量分解并不改变这一点，它只是让后续层处理更小的特征图，并把潜在变量分配到不同尺度。
* '''[[仿射耦合]]的表达力上限'''：仿射耦合每层只对一半变量做"缩放加平移"，函数形式较为简单，拟合复杂分布往往需要堆叠很多层。后续工作把变换换成更灵活的函数形式——如 [[Flow++]] 的 Logistic 混合 CDF 耦合<ref name="FlowPlusPlus2019">{{cite journal|author1=Ho J.|author2=Chen X.|author3=Srinivas A.|author4=Duan Y.|author5=Abbeel P.|title=Flow++: Improving Flow-Based Generative Models with Variational Dequantization and Architecture Design|journal=ICML|year=2019}}</ref>、Neural Spline Flows 的[[有理二次样条耦合]]<ref name="NSF2019">{{cite journal|author1=Durkan C.|author2=Bekasov A.|author3=Murray I.|author4=Papamakarios G.|title=Neural Spline Flows|journal=Advances in Neural Information Processing Systems (NeurIPS)|year=2019|volume=32|url=https://arxiv.org/abs/1906.04032}}</ref>——用更少的层数即可达到更强的拟合能力。
* '''[[仿射耦合]]的表达力上限'''：仿射耦合每层只对一半变量做"缩放加平移"，函数形式较为简单，拟合复杂分布往往需要堆叠很多层。后续工作把变换换成更灵活的函数形式——如 Flow++ 的 Logistic 混合 CDF 耦合<ref name="FlowPlusPlus2019">{{cite journal|author1=Ho J.|author2=Chen X.|author3=Srinivas A.|author4=Duan Y.|author5=Abbeel P.|title=Flow++: Improving Flow-Based Generative Models with Variational Dequantization and Architecture Design|journal=ICML|year=2019}}</ref>、Neural Spline Flows 的[[有理二次样条耦合]]<ref name="NSF2019">{{cite journal|author1=Durkan C.|author2=Bekasov A.|author3=Murray I.|author4=Papamakarios G.|title=Neural Spline Flows|journal=Advances in Neural Information Processing Systems (NeurIPS)|year=2019|volume=32|url=https://arxiv.org/abs/1906.04032}}</ref>——用更少的层数即可达到更强的拟合能力。
* '''[[均匀去量化]]的次优性'''：像素是 0–255 的离散整数，而 RealNVP 建模的是连续分布。RealNVP 的做法是给像素加上均匀噪声，把离散数据"抹平"成连续的——但这相当于让模型拟合一个被噪声模糊过的分布，与真实分布存在偏差。Flow++ 提出的[[变分去量化]]让噪声分布本身也由模型学习，缓解了这一问题<ref name="FlowPlusPlus2019" />。
* '''[[均匀去量化]]的次优性'''：像素是 0–255 的离散整数，而 RealNVP 建模的是连续分布。RealNVP 的做法是给像素加上均匀噪声，把离散数据"抹平"成连续的——但这相当于让模型拟合一个被噪声模糊过的分布，与真实分布存在偏差。Flow++ 提出的[[变分去量化]]让噪声分布本身也由模型学习，缓解了这一问题<ref name="FlowPlusPlus2019" />。
* '''分区固定性'''：掩码决定哪一半变量被变换，而这一划分在训练前就已固定、训练中不再改变；若某层的划分不理想，只能靠后续层弥补。Glow（Generative Flow with Invertible 1×1 Convolutions）改用可学习的可逆 <math>1\times1</math> 卷积，让模型自己学会如何重排变量，划分更灵活，生成效果也更好<ref name="Glow2018">{{cite journal|author1=Kingma D. P.|author2=Dhariwal P.|title=Glow: Generative Flow with Invertible 1×1 Convolutions|journal=NeurIPS|year=2018}}</ref>。
* '''分区固定性'''：掩码决定哪一半变量被变换，而这一划分在训练前就已固定、训练中不再改变；若某层的划分不理想，只能靠后续层弥补。Glow（Generative Flow with Invertible 1×1 Convolutions）改用可学习的可逆 <math>1\times1</math> 卷积，让模型自己学会如何重排变量，划分更灵活，生成效果也更好<ref name="Glow2018">{{cite journal|author1=Kingma D. P.|author2=Dhariwal P.|title=Glow: Generative Flow with Invertible 1×1 Convolutions|journal=NeurIPS|year=2018}}</ref>。
! 方法 !! 年份 !! 核心创新 !! 与 RealNVP 的对比
! 方法 !! 年份 !! 核心创新 !! 与 RealNVP 的对比
|-
|-
| '''[[MAF]]'''（Masked Autoregressive Flow）<ref name="MAF2017">{{cite journal|author1=Papamakarios G.|author2=Pavlakou T.|author3=Murray I.|title=Masked Autoregressive Flow for Density Estimation|journal=NIPS|year=2017}}</ref> || 2017 || 全自回归条件 || 密度评估更灵活，但采样需顺序进行
| '''MAF'''（Masked Autoregressive Flow）<ref name="MAF2017">{{cite journal|author1=Papamakarios G.|author2=Pavlakou T.|author3=Murray I.|title=Masked Autoregressive Flow for Density Estimation|journal=NIPS|year=2017}}</ref> || 2017 || 全自回归条件 || 密度评估更灵活，但采样需顺序进行
|-
|-
| '''Glow'''<ref name="Glow2018" /> || 2018 || 可逆 1×1 卷积 + actnorm || 刷新了图像生成基准
| '''Glow'''<ref name="Glow2018" /> || 2018 || 可逆 1×1 卷积 + actnorm || 刷新了图像生成基准
|-
|-
| '''[[FFJORD]]'''（Free-form Jacobian of Reversible Dynamics）<ref name="FFJORD2019">{{cite journal|author1=Grathwohl W.|author2=Chen R. T. Q.|author3=Bettencourt J.|author4=Sutskever I.|author5=Duvenaud D.|title=FFJORD: Free-form Continuous Dynamics for Scalable Reversible Generative Models|journal=ICLR|year=2019}}</ref> || 2019 || 连续时间流 + [[常微分方程]]（Ordinary Differential Equation，ODE）描述 || 消除架构约束，但需数值积分
| '''FFJORD'''（Free-form Jacobian of Reversible Dynamics）<ref name="FFJORD2019">{{cite journal|author1=Grathwohl W.|author2=Chen R. T. Q.|author3=Bettencourt J.|author4=Sutskever I.|author5=Duvenaud D.|title=FFJORD: Free-form Continuous Dynamics for Scalable Reversible Generative Models|journal=ICLR|year=2019}}</ref> || 2019 || 连续时间流 + 常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）描述 || 消除架构约束，但需数值积分
|-
|-
| '''Flow++'''<ref name="FlowPlusPlus2019" /> || 2019 || [[变分去量化]] + Logistic 混合 CDF 耦合 || 改进 RealNVP 在密度估计、[[去量化]]和耦合函数上的短板
| '''Flow++'''<ref name="FlowPlusPlus2019" /> || 2019 || 变分去量化 + Logistic 混合 CDF 耦合 || 改进 RealNVP 在密度估计、去量化和耦合函数上的短板
|-
|-
| '''Residual Flows'''<ref name="ResidualFlows2019">{{cite journal|author1=Chen R. T. Q.|author2=Behrmann J.|author3=Duvenaud D.|author4=Jacobsen J.-H.|title=Residual Flows for Invertible Generative Modeling|journal=NeurIPS|year=2019}}</ref> || 2019 || [[无偏行列式估计]] || 将残差网络引入可逆建模
| '''Residual Flows'''<ref name="ResidualFlows2019">{{cite journal|author1=Chen R. T. Q.|author2=Behrmann J.|author3=Duvenaud D.|author4=Jacobsen J.-H.|title=Residual Flows for Invertible Generative Modeling|journal=NeurIPS|year=2019}}</ref> || 2019 || 无偏行列式估计 || 将残差网络引入可逆建模
|}
|}